Foro Práctico I

Hola, Antonella. Tu planteo y cálculos se ven muy bien (tienes cambiado el nombre de los ángulos con respecto a la figura del ejercicio).

Tu pregunta es muy interesante y, en el fondo, hace falta interpretar la letra del ejercicio. Nos pide distinguir las velocidades y aceleraciones de arrastre, relativas y absolutas, "utilizando los sistemas fijo y móvil de la figura".

1) Una primera observación es que en la figura aparecen, de hecho, tres sistemas de referencia.

$S_0 : \{ O; \vec i, \vec j,\vec k \}$

$S_1 : \{ A; \vec i', \vec j',\vec k' \}$

$S_2 : \{ M; \vec e_r, \vec e_\theta,\vec e_\varphi \}$

En realidad hay algunas opciones más, dependiendo de cómo consideremos el origen de cada sistema, pero para fijar ideas elegí O. A y M. Algunos de los vectores en las distintas bases coinciden: $\vec k'= \vec k$ , $\vec e_\varphi = \vec j'$ .

La respuesta a la pregunta va a depender de cuál de estos sistemas (o sus variantes) vamos a considerar como sistemas fijo y móvil. No parece haber mucha ambigüedad en que la intención del ejercicio es que tomemos $S_0$ como sistema fijo. En ese caso, la velocidad y aceleración absolutas son las que tú ya calculaste. ¡Bien!

Para saber cuál es el sistema móvil al que se refiere el ejercicio, debemos reflexionar en que si consideramos $S_2$, nos vamos a encontrar con que el punto M está en reposo con respecto a ese sistema. ¿Podrías decir cuanto valen su velocidad y aceleración relativa en ese caso? No tengas miedo de que la respuesta sea demasiado obvia.

Habiendo determinado (trivialmente) la velocidad relativa de M en $S_2$, una forma de proceder es calcular la velocidad de transporte planteando

$\vec v_{abs} = \vec v_{rel} + \vec v_{tr} \to \vec v_{tr} = \vec v_{abs} - \vec v_{rel}$

y en forma análoga para hallar la aceleración de transporte (¿qué se puede afirmar de la aceleración de Coriolis en este caso?). Para ganar cierta confianza en la interpretación de los resultados, recordemos que

• la velocidad relativa refleja el movimiento del punto con respecto al sistema móvil
• la velocidad de transporte proviene del movimiento del propio sistema móvil: es la velocidad que tienen los puntos que están en reposo relativo en el sistema móvil.
• Ídem para la aceleración relativa y aceleración de transporte.
• la aceleración de Coriolis resulta de la situación de una rotación del sistema móvil junto con una velocidad relativa a éste; por definición este término es perpendicular tanto a la velocidad relativa como a la velocidad angular.

En casos como este no sabría decir cómo usar el dibujo para reconocer cada parte fácilmente; cuando está todo presente es más complicado reconocer cada uno. Así que va a haber que confiar en los cálculos...

2) Luego de haber hecho todo esto, podríamos decir que se podría usar $S_2$ como sistema móvil, pero no tiene mucha gracia (¿cambia en algo cambiamos su origen por A, digamos?). Elijamos entonces $S_1$ como sistema móvil para contestar el ejercicio.

Este es el caso que corresponde a la velocidad relativa en tu planteo: $\vec v_{rel} = R \omega \vec e_\theta$. Lo que está sucediendo al llegar a la aceleración es que para separar las diferentes contribución, los términos parecen confundirse entre si debido a que aparece la misma velocidad de rotación, $\omega$, para $S_1$ con respecto a $S_0$ y para $S_2$ con respecto a $S_1$. Es decir, si no fuera el mismo $\omega$ en ambos casos, sería más sencillo distinguir los términos de la aceleración absoluta:

$\vec a_{abs} = \vec a _{rel} + \vec a_{tr} + vec a_{C}$

¿Cómo conviene proceder, entonces? No estoy del todo seguro de cuál es la forma más eficiente, pero más vale ir por un camino seguro. Tratemos de calcular por separado algunas de las varias aceleraciones. La más simple (en principio) parecería ser la relativa, porque como M realiza un movimiento circular uniforme en $S_1$ con velocidad angular $\omega$ y radio $R$, su aceleración es centrípeta y fácilmente podemos poner (hecho en varios problemas anteriores, o usando la hoja de fórmulas):

$\vec a_{rel} = -R \omega^2 \vec e_r = -R \omega^2 [\cos(\omega t) \vec i' + \sin (\omega t) \vec k']$

(el resultado lo escribimos usando la base que nos resulte relativamente más cómoda; la base de $S_1$ sirve para encontrar el resultado final). Estoy usando $\theta = \omega t$, además.

Tampoco es muy difícil determinar la aceleración de transporte, ya que la velocidad angular de $S_1$ es constante:

$\vec a_{tr} = \vec a _A + \dot {\vec \omega}_{01} \times \vec {AM} + \vec \omega_{01} \times (\vec \omega_{01} \times \vec {AM} ) = - R \omega^2 \vec i' - R \omega^2 \cos (\omega t) \vec i'$

ya que A, el origen de $S_1$ realiza un movimiento circular uniforme de radio $R$ y velocidad angular $\omega$ con respecto a $S_0$.

En este momento ya tenemos tres de las cuatro aceleraciones. La aceleración de Coriolis se podría calcular a partir de 

$\vec a_{C} = \vec a_{abs} - \vec a _{rel} - \vec a_{tr}$

y además, para verificar usando la definición, calculamos

$\vec a_{C} = 2 \vec \omega_{01} \times \dot {\vec {AM}} = 2 (\omega \vec k') \times (R \omega \vec e_\theta) = - 2 R \omega^2 \sin (\omega t) \vec j'$