Hola. Encontré una página donde se explican las ideas de la regla de la cadena para funciones de varias variables: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/differentiating-vector-valued-functions/a/multivariable-chain-rule-simple-version
Me parece que puede ser útil para refrescar las ideas. Aunque en esa página se limitan a estudiar el caso sencillo de una función escalar de dos variables, el resultado se puede generalizar fácil y directamente para funciones vectoriales de un número arbitrario de variables.
No olvides contestar a Agustín también.
Saludos,
NC