Foro de Ejercicios fuera de los Prácticos

Hola Lucas. Encuentro un poco confuso el planteo. En parte estás intentando acotar $\rho$ por $z$, y luego, aparte, por $\theta$. Cuidado con eso, deberiás verlo "en conjunto", digamos, dado cada valor de $\rho$, ver que pares $(\theta, z)$ satisfacen las restricciones.

Opino que el dominio de integración es lo que verdaderamente te está confundiendo y no las cuentas. Te sugiero (además de intentar dibujarlo y/o entender geométricamente cómo es dicho dominio), integrar primero respecto a $z$, qe es la variable más fácil de acotar. Fijate que está comprendida entre el paraboloide que oficia de piso y el plano que oficia de techo, esto es

$\x^2 + y^2 \leq z \leq x + 2$.

luego eso te dará lugara una integral en el plano cuyo dominio de integración será un subconjunto del plano, resutado de intersectar ambas superficies y proyectar sobre el plano $xy$. Luego para trabajar en dicho plano podés buscar un cambio de variable conveniente (posiblemente polares, centradas en el origen o en otro lado).

Fijate si empezándolo por ahí sale y si no la seguimos acá.

Saludos.