Hola Ivan. Me parece que no zafás de resolver una integral del estilo de la que te quedó (podrías usar coordenadas elípticas ajustadas a la otra elipse pero te quedaría una situación similar en la cifcunferencia).
Para resolver la integral que te quedó, hay un pique que es tratar de hacer aparecer tangente al cuadrado. para ello te recomiendo:
- Dividir el integrando, arriba y abajo, por
(o lo que es igual, multiplicar por 
- Usar el cambio de variable
, notando que, además, 
Fijate si con eso te sale
Saludos