Hola Daniel,
La pregunta plantea si existen bases tales que las coordenadas de los vectores (que en este caso son matrices) transformados de la base formen a la matriz A. El tamaño de una matriz asociada a una transformación siempre estará definido por las dimensiones del espacio de salida y llegada. En este caso, cualquier matriz asociada a la transformación T será de tamaño 4x4 (ya que $$\mathcal{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$$ tiene dimensión 4), por lo que la matriz asociada nunca podrá ser A, ya que esta es de 2x2.
Saludos