Holaa, no se bien como puedo resolver este ejercicio a pesar de que leo la definición de transformación lineal. Lo que creo que puedo entender es que al hacer la transformaciones de los elementos de la base de \( \mathbb R_2[x] \) me llevan a los lementos de la base de \( \mathbb R^2 \).
Lo que no se es como hacer para indicar que T está bien definida.
Gracias Mathias, tenes razón ahora que lo hice así me salio, por ejemplo para \( T(x)=(1,1) \) lo comprobé primero haciendo la suma \( T(x+x')=(1+1',1+1')=(1,1)+(1',1')=T(x)+T(x') \) y con el producto sería \( T( \alpha x )=(\alpha x1,\alpha x1)=\alpha (1,1)=\alpha T(x) \)
Probando con todos llegué a que estaba bien definido en todos, aunque tengo dudas de si en \( x^2 \) también lo está, pero suponiendo que si ahora ¿Como hiciste para hallar \( T(p) \) para todo \( p \)?
Hola, hay un teorema (teo 7.4 del libro azul) que dice que si vos conoces los transformados de una base del espacio de salida entonces la transformación está determinada, cosa que pasa en este ejercicio.
No entendí a que quisiste referirte con (1',1'). Para hacer lo que te planteó el compañero, tenés que tomar dos vectores generales y trabajar con también con esos transformados, en este caso esa información no la tenés. Sin embargo, con comprobar las hipótesis del teorema es suficiente.
Para hallar T(p), la gracia es que como vos conoces los transformados de una base del espacio de salida, vos podes escribir un vector genérico del espacio de salida en función de esta base y por lo tanto, usando linealidad de las TL, hallar el transformado del ventor genérico:
Sea $$\{ v_1 , v_2, ... , v_n \}$$ base del espacio de salida $$V$$ tal que $$T(v_i)=w_i \forall i=1,...,n$$ con $$w_i \in W$$ el espacio de llegada. Entonces, un vector genérico $$v$$ de V lo podes escribir como $$v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n$$, por lo tanto por linealidad se cumple que $$T(v)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n)=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)+...+\alpha_nT(v_n)=\alpha_1w_1+\alpha_2w_2+...+\alpha_nw_n$$
Esto es cuando las hipótesis del teorema se cumplen todo bonito, pero puede pasar que no tengas una base.
Puede pasar que tengas un conjunto LI que no llega a generar todo el espacio, en este caso como no tenés toda la info necesaria para poder determinar la TL, van a existir INFINITAS TL que cumplan tus condiciones.
También puede ser que tengas un conjunto LD, en este caso primero tenés que chequear que la dependencia lineal que haya entre los vectores $$v_i$$ sea la misma que entre los $$w_i$$, esto tiene que ser así por la linealidad de las transformaciones, si la dependencia no es la misma entonces NO EXISTEN transformaciones lineales que cumplen esas condiciones. Si la dependencia si es la misma, la idea es eliminar los vectores sobrantes hasta que te quede un conjunto de los $$v_i$$ LI, y en función de cuantos vectores te queden vas a estar en las condiciones del teorema (te queda una base de V) o el caso anterior que te planteé (te queda un conjunto más chico que una base).
Este tema puede ser un poco complicado de entender, en los ejercicios 3,4 y 5 se ve todo esto. Cualquier cosa preguntá de nuevo.
Saludos
Hola profe, a ver si entendí, solo con tener las Transformaciones lineales de la base de un sub espacio ya podemos decir que está bien determinada ¿Que significa que esta bien determinada?¿Es lo mismo decir que está bien definida?
Quise probar las propiedades que cumple una transformación lineal, en ese caso la transformación de la suma es la suma de las transformaciones, pero por lo visto estaba mal. ¿Que serían los vectores generales?¿Te refieres a los del espacio de salida o el de llegada? El caso es que acá se cumple que como la transformación de \( \mathbb R_2[x] \) está tomando los vectores de su base y transformandolos en \( \mathbb R^2 \) y eso es la respuesta a si está bien definida ¿No?
Entonces en este caso para halla un vector genérico \( v \) puede ser haciendo \( v=ax^2+bx+c \) y aplicando lo que dices de linealidad obtengo \( T(ax^2+bx+c)=aT(x^2)+bT(x)+cT(1)=a(0,0)+b(1,1)+c(1,0)=(0,0)+(b,b)+(c,0)=(b+c,b) \) y este último tendría que ser por linealidad el vector genérico de \( \mathbb R^2 \) a partir de la transformación lineal de \( \mathbb R_2[x] \) ¿Esto está bien?
Gracias por la explicación de lo que ocurre en caso de que la transformación lineal no sea sobre una base, solo quería consultar cuando dices que tienes un conjunto de salida LD, uno lo que hace para saber si es existe esa transformación lineal es hacer una combinación lineal de los vectores de salida y luego transformarlos para obtener el vector de llegada, luego con los supuestos transformados de esos dos vectores de salida se hace la combinación lineal y si el vector es el mismo que el que se obtuvo primero haciendo la combinacion lineal con los vectores de salido ¿Ahí es que podemos concluir que existe esa transformación lineal?
Si reconozco que este tema me está llevando más tiempo del que pensaba, siendo optimista me llevará entenderlo medianamente bien unos 25 a 30 días.
Gracias por el tiempo y saludos
Hola, vamos de a partes.
"solo con tener las Transformaciones lineales de la base de un sub espacio ya podemos decir que está bien determinada ¿Que significa que esta bien determinada?¿Es lo mismo decir que está bien definida?"
Si, con tener los transformados de una base del espacio de salida ya podés que está bien definida (definida es la palabra correcta).
"Quise probar las propiedades que cumple una transformación lineal, en ese caso la transformación de la suma es la suma de las transformaciones, pero por lo visto estaba mal."
Ahi va, te pregunta xq mezclaste cosas creo. En lo que pusiste $$x$$ es un vector particular del espacio de salida, entonces poner $$x'$$ no tiene sentido, al igual que $$(1,1)$$ y $$(1',1')$$.
"¿Que serían los vectores generales?¿Te refieres a los del espacio de salida o el de llegada?"
Con general quise decir genérico, por ejemplo para $$\mathbb{R}_2[x]$$ un vector genérico sería $$p=ax^2+bx+c$$, me refería a los del espacio de salida (como lo que había que hacer en el ej1, pero que acá como no tenés explícitamente la transformación no lo podes comprobar).
"El caso es que acá se cumple que como la transformación de $$\mathbb{R}_2[x]$$ está tomando los vectores de su base y transformándolos en $$\mathbb{R}^2$$ y eso es la respuesta a si está bien definida ¿No?"
Ahí va, en realidad cuál es el espacio de llegada no te importa. Para decir si está bien definida o no, tenés que probar que conoces los transformados una base del espacio de salida (y en caso de que no, ver si tenés infinitas TL o ninguna).
"este último tendría que ser por linealidad el vector genérico de $$\mathbb{R}^2$$ a partir de la transformación lineal de $$\mathbb{R}_2[x]$$ ¿Esto está bien?"
Lo de la transformación está bien, pero lo que obtenés no tiene xq ser un vector genérico de $$\mathbb{R}^2$$ (igual en este caso si te pasa que el subespacio de los vectores transformados (la imagen de la TL $$Im(T)$$)) es igual al espacio de llegada).
Sobre lo último, si entendí bien está bien. Un ejemplo fácil sería: Sea $$T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$$ tal que $$T(1,0)=(1,0,0)$$, $$T(0,1)=(0,1,0)$$ y $$T(1,1)=(1,2,0)$$, en este caso el conjunto $$\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$$ es LD donde una forma de escribir su dependencia lineal es $$(1,1)=(1,0)+(0,1)$$, entonces se tendría que cumplir que $$T(1,1)=T((1,0)+(0,1))=T(1,0)+T(0,1)=(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0) \neq (1,2,0)$$, entonces como no se cumple la misma dependencia lineal, no existe TL que verifique esas condiciones que se piden.
Saludos
Muchas gracias, ahora voy entendiendo, entonces el vector genérico es \( p=ax^2+bx+c \) y la transformación lineal que daba \( (b+c,b) \) estaba bien pero no necesariamente esa transformación genera \( \mathbb R^2 \) pudo haber generado algo como una recta, ahí trabajé demás porque si uno sabe que ya está bien definida la TL hallando el vector genérico del subespacio de salida es suficiente.
Eso último que dijiste en el ejemplo es lo que trataba de decir, ahora ya se aclaró mi duda.
Muchas gracias saludos por alla
Claro, con lo de la base teóricamente es suficiente para decir que está bien definida, y luego la segunda parte del ejercicio fue hallar T(p).