Foro Práctico 9

Hola Sol. Para pensar de esa manera hay que tener cuidado con el grado de los polinomios/el orden de infinitésimo del resto.

La clave es recordar que los polinomios de Taylor nos permiten escribir una función $f$ (que cumpla las hipótesis de diferenciabilidad necesarias) como

$f(x) = P_k(x) + r_k(x)$

donde $P_k$ es un polinomio de grado $k$ y el resto $r_k$ cumple $\frac{r_k(x)}{||x||^k} \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow a$ (siendo $a$ el punto elegido para desarrollar el Taylor).

Entonces hay que pensar que pasa cuando la función que quiero desarrollar se escribe como un producto de funciones ¿Puedo usar el polinomio Taylor de cada factor por separado? Con cautela: Si tomamos el polinomio de grado $k$ de cada factor, el polinomio resultante posiblemente tendrá grado mayor a $k$. Si tomamos grados menores, corremos riesgo de que al polinomio producto le falte algún término respecto del término original.

Una opción es hacer los polinomios de Taylor de grado $k$ de cada factor, multiplicarlos y truncar ese producto (quedándonos solo con la porción del polinomio que es de grado $k$). O sea, si tengo $f$ como antes y quiero el Taylor del producto $fg$ con

$g(x) = Q_k(x) + s_k(x)$, con $\frac{s_k(x)}{||x||^k} \rightarrow 0$ cuando $x \rightarrow a$

Tendremos

$fg(x) = P_k(x)Q_k(x) + P_k(x)r_k(x) + Q_k(x)s_k(x) + r_k(x)s_k(x)$.

Donde es relativamente fácil probar que si $x \rightarrow$ a, los tres últimos términos divididos $||x||^k$ tenderán a cero. El primer término es el polinomio que decía antes que hay que truncar, y constatar que dicho truncamiento puede hacerse de forma que la parte que descartas también verifique dicho límite (para poder tratarlo como parte del resto, digamos).