Hola Daniel,
Puede ser que te refieras al 2.1.b? Si es así la base de $$S2$$ en realidad sería $$\{x^2+1,x \}$$, con la que vos pusiste te queda que $$dim(S_2)=3$$ en vez de 2.
Luego, para hallar una base de la intersección no tenés que intersectar las bases (que no entendí si era esto lo que planteabas, pero por las dudas), sino que hacer que se cumplan las condicones de $$S_1$$ y $$S_2$$ a la vez. Entonces, dado $$p(x)=ax^2+bx+c$$ para $$S_1$$ se tiene que cumplir que $$b=0$$ y $$c=0$$, y para $$S_2$$ se tiene que cumplir que $$a=c$$, por lo tanto para $$S_1 \cap S_2$$ se tiene que cumplir que $$b=0$$, $$c=0$$ y $$a=c$$, es decir: $$a=b=c=0$$, por lo tanto $$S_1 \cap S_2=\{0\} \neq [ \emptyset ]$$ (ojo que el vector nulo, no es el vacío).
Saludos