¿Se puede decir que una función es diferenciable en un punto sii se puede aproximar por un plano tangente de la forma para todo
y
vectores L.I.?
Entonces por ejemplo, la función:
no sería diferenciable en (0,0), ¿verdad?
Hola Juan, estoy de acuerdo con la propiedad que enuncias pero hay que dejar claro a qué nos referimos con "se puede aproximar por un plano tangente".
Esa precisión es exactamente la definición de diferenciabilidad. Esta dice que y
difieren en un resto cuyo orden de infinitésimos en
es mayor al de
.
Estoy de acuerdo también con que la función que planteás no es diferenciable en y está buena la intuición que manejás al notar que no hay un plano tangente. También fijate que si quisieras demostrar la no diferenciabilidad de un modo sencillo y concreto, podés probar que no existe alguna derivada direccional (por ejemplo
).