CDIVV-2S: Noción de diferenciabilidad

¿Se puede decir que una función es diferenciable en un punto sii se puede aproximar por un plano tangente de la forma $f_{v}(x_{0},y_{0}).v+f_{w}(x_{0},y_{0}).w+f(x_{0},y_{0})$ para todo $v$ y $w$ vectores L.I.?

Entonces por ejemplo, la función:

$f(x,y)\begin{cases}0 & \text{ si } y=0 \\ \left | x \right | & \text{ si } y\neq 0\end{cases}$

no sería diferenciable en (0,0), ¿verdad?

Re: Noción de diferenciabilidad

de Veronica Rumbo - martes, 10 de noviembre de 2020, 18:15

Hola Juan, estoy de acuerdo con la propiedad que enuncias pero hay que dejar claro a qué nos referimos con "se puede aproximar por un plano tangente".

Esa precisión es exactamente la definición de diferenciabilidad. Esta dice que $f_v(x_0,y_0)v + f_w(x_0,y_0)w+f(x_0,y_0)$ y $f(v,w)$ difieren en un resto cuyo orden de infinitésimos en $(x_0, y_0)$ es mayor al de $||(v,w)||$ .

Estoy de acuerdo también con que la función que planteás no es diferenciable en $(0,0)$ y está buena la intuición que manejás al notar que no hay un plano tangente. También fijate que si quisieras demostrar la no diferenciabilidad de un modo sencillo y concreto, podés probar que no existe alguna derivada direccional (por ejemplo $\frac{\partial f}{\partial (1,1)}(0,0)$ ).