Estudio de la diferenciabilidad (Clase 30 openfing)

Estudio de la diferenciabilidad (Clase 30 openfing)

de Marcos Alzugaray Quirici -
Número de respuestas: 4

Buenas, mi duda es la siguiente:

Para saber si una función es diferenciable en un pto (xo,yo) lo primero es estudiar la continuidad en ese punto. Si es continua, procedo a calcular las derivadas parciales, para lo cual, como se menciona, hay dos formas; o bien aplicar directamente la definición y calcular el lim del cociente incremental, o derivar la función, por lo general en puntos genéricos "lejanos" al problemático (xo,yo) y hacer el lim cuando x,y tienden a (xo,yo), siempre y cuando las derivadas parciales sean continuas en (xo,yo). Con este limite calculado tendria el valor de las derivadas parciales en (xo,yo). La primer pregunta que tengo es que si yo calculo las derivadas parciales por el primer metodo ¿no deberia tambien chequear que estas son continuas en (xo,yo)? La segunda es si, afirmando ya sea en el segundo caso o en el primero (de ser afirmativa la respuesta a mi primer pregunta) que las derivadas son continuas en el punto, por el teorema de la condicion suficiente de diferenciabilidad, podria asumir la diferenciabilidad en ese punto, o ademas tengo que ver que las derivadas parciales existen en una bola de centro (xo,yo). Otra duda que me surge en este momento es que como la bola puede ser de un tamaño relativamente grande, si las derivadas parciales deberian existir en todo punto de la funcion para que sea diferenciable en el pto (xo,yo).

Por ultimo, me pregunto en que momento me veria obligado a ver si el limite del resto evaluado en el incremento sobre la norma de este incremento tiende a cero para ver si la funcion es diferenciable.

Saludos

En respuesta a Marcos Alzugaray Quirici

Re: Estudio de la diferenciabilidad (Clase 30 openfing)

de Veronica Rumbo -

Hola Marcos, voy respondiendo por partes. Por lo que veo tu duda viene a ser de qué formas se puede determinar si una función es diferenciable en cierto punto (x_0, y_0).

"si yo calculo las derivadas parciales por el primer metodo ¿no deberia tambien chequear que estas son continuas en (xo,yo)?"

Si calculas las derivadas parciales en (x_0, y_0) lo que obtenés es exactamente eso, las derivadas parciales. Su mera existencia no te dice que la función sea diferenciable o sea que hay que seguir un poco más (salvo que alguna derivada parcial en (x_0, y_0) no exista, y entonces podés asegurar que la función no es diferenciable).

Una forma posible de probar que una función es diferenciable en (x_0, y_0) es la condición suficiente de diferenciabilidad, que pide como hipótesis

  • que las derivadas parciales existan en una bola centrada en (x_0, y_0) (tan pequeña como haga falta pero tiene que existir una bola).
  • que las derivadas parciales sean contínuas en (x_0, y_0).
Esto creo que tiene que ver con lo que planteabas antes y también con la pregunta

"afirmando /.../ que las derivadas son continuas en el punto, por el teorema de la condicion suficiente de diferenciabilidad, podria asumir la diferenciabilidad en ese punto, o ademas tengo que ver que las derivadas parciales existen en una bola de centro (xo,yo)."

O sea, tenés que ver que además existen en una bola.

El asunto es la condición es suficiente pero no necesaria. Es decir que si lográs chequear todas las hipótesis podés concluir que la función es diferenciable en (x_0, y_0), pero si no se cumplen, no significa que la función no sea diferenciable. Simplemente significa que el criterio no nos sirve y hay que buscar otro.

Una forma posible de hacerlo es observar si la función es suma/producto/composición de funciones diferenciables. Otra es usar la definición (el límite del resto al que referís al final). En general es un poco tedioso de hacer en genérico por lo que solemos dejarlo como última alternativa para puntos particulares por ejemplo.
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Estudio de la diferenciabilidad (Clase 30 openfing)

de Marcos Alzugaray Quirici -

Impecable, ya me va quedando mas claro, aunque sigo teniendo la misma primer duda: ya sea que quiera hallar la diferenciabilidad o no, si yo hallo las derivadas parciales, haciendo el limite del cociente incremental, y me da que existen ¿eso ya me garantiza que las derivadas parciales son continuas en ese punto, debido a la forma en que las calculé? Gracias y perdón la insistencia!!

En respuesta a Marcos Alzugaray Quirici

Re: Estudio de la diferenciabilidad (Clase 30 openfing)

de Veronica Rumbo -

Si hallás las derivadas parciales en un punto usando la definición (el limite del cociente incremental), lo único que tenés, es el valor de la derivada en dicho punto. No te dice nada con respecto a la continuidad de la misma

Creo que lo que te confunde es que la propia definición de derivada direccional involucra un límite.

Haciendo una comparación con lo que sabemos de cálculo 1, pensá que cuando vos calculas la derivada de una función en un punto, usás un límite. Pero lo único que sabes es lo que vale la derivada en ese mismo punto. Si querés estudiar la continuidad de la función derivada, tenés que hallarla en más lugares (al menos en un entorno del punto en cuestión).

Saludos