Hola, una pregunta con respecto a la letra, para determinar que el conjunto es linealmente independiente sería hacer con los vectores del conjunto un sistema homogeneo y buscar una solución que no sea la trivial, es decir que al escalerizar lleguemos aun sistema compatible determinado. Como ya de entrada veo que el conjunto de vectores tiene más incognitas que ecuaciones se que no voy a llegar a un sistema compatible determinado, sabiendo esto ya se que tiene más soluciones aparte de la trivial. Ahora ¿A que se refiere cuando me dice que encuentre un subconjunto linealmente independiente que permita expresar a los restantes vectores como combinación lineal del subconjunto seleccionado?
Hola Daniel,
Como bien planteas para ver si un conjunto es LI o LD la idea es hacer un sistema entre los vectores del mismo e igualar al vector nulo, si la única manera (SCD) de formar al vector nulo es multiplicar todo por cero (solución trivial) entonces el conjunto es LI, si hay más de una manera (SCI) entonces es LD y esto implica que podes escribir a alguno de los vectores como combinación lineal de los demás.
Lo segundo que planteas también es correcto, como tenés más incógnitas que ecuaciones entonces determinado no puede ser. Otra forma de ver esto es que tu conjunto tiene 4 vectores en un espacio de 3 dimensiones, siempre que tengas un conjunto con más vectores que la dimensión del espacio donde viven, entonces va a ser LD (para visualizar esto un poco mejor, pensá en un plano (2 dimensiones), para decirte como llegar cualquiera de los puntos del plano preciso darte dos vectores nomás, si te doy tres, a este tercer vector en realidad lo puedo formar con los primeros dos que te di y no me aporta info nueva).
Con respecto a tu pregunta, la idea es que elimines a los vectores que son combinación lineal de los demás hasta que te quede un conjunto LI. De forma genérica, siempre vas a poder eliminar un vector cuyo coeficiente $$\lambda_i$$ NO sea cero (ya que si no es cero podes despejar al vector de tu sistema original y escribirlo como combinación lineal de los demás), de forma práctica podes eliminar los vectores correspondientes a los que te queden en el "escalón largo" después de escalerizar, ya que estos no van a tener un $$\lambda_i=0$$.
Cualquier cosa que no se entienda preguntá de nuevo,
Saludos
Hola, no entendí muy bien la explicación de que hay que hacer en el caso de que no sean LI
Hola Francisco,
Cuando el conjunto es LD, tenés que eliminar vectores del conjunto hasta que te quede LI. Cuáles tenés que eliminar? Aquellos que podes formar como combinación lineal de los demás. Cómo te das cuenta de cuáles son estos? Cualquiera cuyo $$\lambda_i$$ sea distinto de cero, de forma práctica podes eliminar aquellos que están en el "escalón largo" de la forma escalerizada de la matriz de tu sistema. Cuántos tenés que eliminar? La cantidad de variables libres que te hayan quedado al resolver el sistema, otra forma de verlo es la cantidad de vectores en la parte larga del escalón o la diferencia entre el rango del conjunto y el número total de vectores.
Espero que haya quedado más claro, cualquier cosa pregunta de nuevo.
Saludos
Hola, yo me di cuenta que era LD haciendo un sistema de ecuaciones pero no entiendo cómo darme cuenta cual vector puedo eliminar mirando mi sistema ya que no veo que tenga ningún escalón más largo. Veo que el vector (2,3,4) se puede escribir como combinación de otros pero, ¿cómo puedo ver eso en mi sistema?.
Luciano,
sería el escalón más largo del sistema escalerizado, y siempre hay un escalón más largo que el resto.
Lee la respuesta de Bruno que explica bien que es lo que hay que hacer.
Saludos,
Gustavo.
sería el escalón más largo del sistema escalerizado, y siempre hay un escalón más largo que el resto.
Lee la respuesta de Bruno que explica bien que es lo que hay que hacer.
Saludos,
Gustavo.