Buenas Noches;
Necesito una mano con este ejercicio, sé que tiene una solución escrita en el foro de GAL1(1er semestre) pero no entendí el razonamiento que se usó.
Desde ya muchas gracias
Saludos cordiales
Braulio.
Hola Braulio,
Lo que se hizo en la solución escrita fue primero mostró que había unos de los vectores de $$A_1$$ que era combinación lineal de los otros dos, y después mostró que podes formar a los vectores de $$A_2$$ con los vectores de $$A_1$$, entonces como podes formar los vectores de un conjunto a partir de los vectores del otro conjunto, ambos conjuntos generan el mismo subespacio.
Otra forma de pensar el ejercicio es calcular de forma independiente el subespacio que genera cada uno y ver que la condición que deben cumplir los vectores para pertenecer a esos subespacios son la misma, por lo tanto son el mismo subespacio.
Una detalle a notar sin hacer ninguna cuenta es que $$A_2$$ está formado por dos vectores no colineales (por lo tanto un conjunto LI) en $$\mathbb{R}^3$$, por lo tanto lo que genera es un plano que pasa por el origen, y la condición que deben cumplir los vectores para pertenecer no es otra cosa que la ecuación del plano.
Saludos
Hola lo que hice en ese ejercicio fue resolver el sistema de cada conjunto por separado y me dieron ambos un sistema compatible indeterminado de dimensión 2 en este caso.
Luego al ponerlos en forma de columna todos los vectores de ambos conjuntos en un sistema único al escalerizar me dio dimensión 2 también y por lo tanto como las dimensiones son iguales puse que generan el mismo sub-espacio. ¿Está bien hacerlo así? gracias!
Luego al ponerlos en forma de columna todos los vectores de ambos conjuntos en un sistema único al escalerizar me dio dimensión 2 también y por lo tanto como las dimensiones son iguales puse que generan el mismo sub-espacio. ¿Está bien hacerlo así? gracias!
Fabrizio,
es correcta la manera de hacerlo. El tema es entender porque está bien lo que hiciste.
Si considerás $$S_1, S_2$$ los subespacios generados por $$A_1, A_2$$, lo que hiciste
fue probar que $$\text{dim}(S_1) = \text{dim}(S_2) = \text{dim}(S_1+S_2) = 2$$.
Como todas las dimensiones son iguales y $$S_1, S_2\subset S_1+S_2$$ entonces
$$S_1 = S_1 + S_2 = S_2$$.
Otra cosa que podías hacer es tratar de generar los vectores de $$A_1$$ como
combinación lineal de los de $$A_2$$ y viceversa.
Saludos,
Gustavo.
es correcta la manera de hacerlo. El tema es entender porque está bien lo que hiciste.
Si considerás $$S_1, S_2$$ los subespacios generados por $$A_1, A_2$$, lo que hiciste
fue probar que $$\text{dim}(S_1) = \text{dim}(S_2) = \text{dim}(S_1+S_2) = 2$$.
Como todas las dimensiones son iguales y $$S_1, S_2\subset S_1+S_2$$ entonces
$$S_1 = S_1 + S_2 = S_2$$.
Otra cosa que podías hacer es tratar de generar los vectores de $$A_1$$ como
combinación lineal de los de $$A_2$$ y viceversa.
Saludos,
Gustavo.
Excelente muchas gracias!