CDIVV-2S: ej 11 c

Buenas! mi duda en este ejercicio era mas una cuestion teorica, queria saber si para calcular el limite cuando x tiende a 0 podria hacer algo analogo a lo que haciamos en calculo 1 cuando nos acercabamos por derecha o izquierda, pero manteniendolo para cualquier y, o sea no utilizar un valor de y especifico.

Re: ej 11 c

de Veronica Rumbo - miércoles, 28 de octubre de 2020, 20:04

Respuesta corta: No

Respuesta larga: No, pero ese enfoque puede dar cierta información.

Para saber si el límite de una función al acercarse a un punto

$(a,b)$ existe, no basta con mirar que pasa al acercarse a

$(a,b)$ por todas las rectas posibles. Deberías acercarte a

$(a,b)$ por todas las curvas posibles, lo cual no es muy práctico que digamos y no es el enfoque que recomendaría para hallar un límite.

Lo que puede ser útil es la negación: si encontrás, por ejemplo, dos rectas que pasen por

$(a,b)$ de modo que el límite de la función al acercar

$(x,y)$ a dicho punto sea distinto en una u otra, entonces el límite en cuestión no existe.

Saludos

Re: ej 11 c

de Sol Peluffo Gomez - jueves, 29 de octubre de 2020, 11:32

Hola! Me parece que no me expresé muy bien en mi pregunta, a lo que me refería, más que a acercarme a un punto por una recta es a acercarme a una recta por puntos x e y cualquiera. Por ejemplo en el ejercicio 11 c de este practico tengo una recta en la que no se si mi función es contínua o no, entonces mas que a analizar caso por caso, que es imposible dado que una recta contiene infinitos puntos, sería calcular el límite para un y genérico acercandome a 0- en x, dado que la recta en la que desconozco la continuidad sería x=0 (donde la funcion cambia de expresión si voy por izquierda o derecha)

En resumen, mi pregunta sería si es correcto expresar el lìmite de la siguiente manera:

lim f(x,y) = y²

(x,y) $\rightarrow$ (0-,y)

Re: ej 11 c

de Veronica Rumbo - viernes, 30 de octubre de 2020, 11:32

Ok, creo que ahora entendí mejor.

La respuesta es que la idea tiene cosas bien pero no es exactamente así. Recordemos que una función es contínua si es contínua en cada uno de sus puntos. Entonces para estudiar la continuidad de la función, estudiamos la continuidad en $(a,b)$ , para todo punto $(a,b)$ del dominio.

Entonces en un ejercicio como el 11c) para estudiar continuidad en $(a,b)$ podemos considerar tres situaciones:

Cuando $(a,b)$ está en la región $x > 0$ , es decir, cuando $a >0$
Cuando $(a,b)$ está en la región $x < 0$ , o sea, $a$
Cuando $(a,b)$ está en la región $x = 0$ , es decir, cuando $a =0$

En los dos primeros casos la función es contínua porque

$(a,b)$ es punto interior de la región donde la función está definida de una u otra forma. Así, en el caso 1 por ejemplo la función es contínua porque la expresión

$x^2 +2y -1$ lo es.

Lo más delicado es el tercer caso, que es donde viene tu pregunta. Si estamos estudiando la continuidad en un punto

$(a,b)$ de dicha región, sabemos que

$a = 0$ por lo que el punto es

$(0, b)$ , donde

$b$ es arbitrario pero fijo. Por lo tanto, el límite que querés estudiar es

$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,b)} f(x,y)$

Fijate que no hablé de tender por izquierda ni por derecha, ya que podría acercarme al punto en cuestión por cualquier curva. Lo que sí sabemos es que si me acerco por una curva totalmente incluida en la región

$x \geq y$ , entonces el límite será

$2b$ (porque uso la primer expresión) Y si me acerco por una curva incluída en la región

$x >y$ el límite será

$b^2$ .

Eso nos da una herramienta para negar continuidad en ciertos puntos. Si

$b$ es de tal modo que

$2b \neq b^2$ , la función no será continua en

$(0,b)$ ¿Y si caso

$2b = b^2$ ? Se puede probar que en esos puntos la función sí es contínua. Es un ejercicio interesante, y básicamente consiste en usar la definición de continuidad para, a partir del hecho de que en cada una de los interiores de las regiones es contínua, encontrar un entorno adecuado para verificar la definición de continuidad en los

$(0,b)$ adecuados.

En resumen, sospecho que el resultado del ejercicio va a ser similar al que estabas pensando, pero los fundamentos tenían algunos problemas. Espero que ahora se haya ordenado un poco más. Saludos