Hola Daniel,
Tu razonamiento está perfecto. Para hacerlo analíticamente tenés que ver si con esos vectores podés generar un vector cualquiera de tu espacio vectorial, es decir, en este caso, si \( \exists \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}\ /\ \lambda_1(1,\pi)+\lambda_2(\sqrt{2},e)=(x,y) \ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \). Si el sistema te da compatible entonces podes generar todo el espacio con esos vectores; si no, imponiendo las condiciones necesarias para que sea compatible, lo que podes generar es un subespacio del mismo.
Saludos