Hola Daniel. Para construir un contraejemplo imaginate una función no negativa, que valga cero casi siempre, pero de cuando en cuando tenga "chichoncitos" cada vez mas chicos (con área bajo la curva 
ponele). Con un poco de cuidado se puede hacer de modo que sea derivable.
Ademas esos chichones se pueden hacer de modo que sean cada vez más angostos, pero igual de altos, de modo que refuten la afirmación de que la función tiende a cero.
Es medio aparatoso escribirla analíticamente, pero esa sería una idea de posible contraejemplo tanto para I como para II