Parcial 1°, Semestre 2°, Ejercicio 3°

Parcial 1°, Semestre 2°, Ejercicio 3°

de Francisco Antonio Garrasini Pairet -
Número de respuestas: 4

Buenas, tengo dudas respecto al método que se debe seguir para resolver este ejercicio, si bien ya intente resolverlo de varias maneras, no logro ver cual es el razonamiento que se debe seguir para llegar al resultado correcto.

Desde ya, muchas gracias.

Francisco.

(Adjunto imagen del ejercicio con la respuesta correcta marcada)


Adjunto Ej..PNG
En respuesta a Francisco Antonio Garrasini Pairet

Re: Parcial 1°, Semestre 2°, Ejercicio 3°

de Veronica Rumbo -

Hola Francisco. Para resolver este ejercicio, te recomiendo en primer lugar tratar de entender bien quiénes son z y w, y representarlos en el plano. Para ello es útil tener en cuenta que:

  • Como z^3 = i, tanto el módulo de z^3 como el de z  son 1. Es decir r = 1 (algo similar ocurre con r', el módulo de w).
  • Para hallar \psi, tengamos en cuenta que 3\psi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi siendo k un entero cualquiera. Esto da tres posibles valores (que corresponden a complejos distintos) para \psi: \pi/6, 5\pi/6 y 9\pi/6. Como nos dicen que además está en [\pi/2, \pi], tenemos que \psi = 5\pi/6.
  • Siguiendo un razonamiento similar para \theta, obtenemos que \theta = 7\pi/6.
Hasta ahora sabemos, pues, que z = \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6} \right) y w = \cos \left(\frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{6} \right). Para sumarlos podemos usar propiedades de seno y coseno, o bien, si no nos acordamos (como suele sucederme a mi, por ejemplo), jugar un poco con la geometría.

Observemos que ambos complejos están sobre la circunferencia unidad y además son simétricos respecto al eje de las abscisas (el ángulo más pequeño que forman con dicho eje es \pi/6, por encima en el caso de z y por debajo en el caso de w). Por lo tanto z + w es real*, es decir:

z + w = \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{5\pi}{6} \right) + \cos \left(\frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left(\frac{7\pi}{6} \right) = \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right) + \cos \left(\frac{7\pi}{6} \right). Además, por la simetría antes mencionada tenemos que \cos \left(\frac{5\pi}{6}\right)=\cos \left(\frac{7\pi}{6}\right).

Entonces w + z = 2 \cos \left(\frac{5\pi}{6} \right) = -2 \cos(\pi /6) = -2 \sqrt{3} /2 = \sqrt{3}.
(para esta última cuenta es útil observar que el origen y los puntos w y z forman un triángulo equilátero).

*Nota importante: Donde está el asterisco pudimos terminar el ejercicio (y es la idea), pues de las opciones dadas solo una es real, pero sólo por si quieren ver cómo se puede calcular, lo seguí.
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Parcial 1°, Semestre 2°, Ejercicio 3°

de Diego Ismael Marichal Chavez -

Hola, no entiendo el segundo punto, de donde proviene esa idea y porque solo se utilizan tres valores de k?

Saludos

Diego

En respuesta a Diego Ismael Marichal Chavez

Re: Parcial 1°, Semestre 2°, Ejercicio 3°

de Veronica Rumbo -

Hola Diego, para entender el segundo ítem es clave tener en cuenta cómo funciona el producto de complejos. En particular que al multiplicar dos complejos sus módulos se multiplican y sus ángulos se suman. Por lo que elevar al cubo tiene el efecto de multiplicar el ángulo por 3.

Por otro lado, es lo mismo tomar un ángulo \theta que \theta + 2k\pi para cualquier k entero, ya que el ángulo \pi corresponde a dar toda la vuelta al círculo. Es decir que los ángulos que buscamos son los de la forma \psi = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} con k entero. Sin embargo, se "repiten" valores, en el sentido de que para k = 0 y k = 3 por ejemplo, obtenemos el mismo complejo: para k = 0 tenemos \psi = \frac{\pi}{6} y para k = 3 se tiene \psi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi (que es el mismo ángulo). En total hay solo tres valores de \psi que correspondan a puntos distintos.

Te sugiero que representes en el plano los distintos z posibles según las cuentas y ahí creo que va a quedar claro eso de que son sólo tres puntos posibles (las tres raíces cúbicas de i).

Saludos.