Definición conjunto cerrado

Definición conjunto cerrado

de Maria Belen Santos Incerti -
Número de respuestas: 1

Buenas tardes, queria saber si el enunciado "A cerrado  \Rightarrow   A complemento es abierto" es un si solo si en lugar de un entonces.

Gracias, saludos.
En respuesta a Maria Belen Santos Incerti

Re: Definición conjunto cerrado

de Veronica Rumbo -

Hola María. Efectivamente es un si y sólo si. A es cerrado si y solo si A^c es abierto.

Al respecto, una cosa que me gusta pensar es que dado un conjunto cualquiera (llamémosle B), el espacio en el que está dicho conjunto queda particionado en tres subconjuntos, a saber

  • El de los puntos que están "bien dentro" de B, también conocido como int(B) (interior de B).
  • El de los puntos "del bordecito", es decir, la frontera de B que notamos como \partial B. (nótese que estos puntos pueden o no estar en B)
  • El de los puntos exteriores a B. Estos son, los puntos interiores a B^c. Este conjunto se nota como ext(B).
¿Por qué hago esta observación? porque es útil para pensar la topología de B. Fijate que el interior siempre está incluido en B y el exterior siempre tiene intersección vacía con B. Lo que puede variar según el caso es el comportamiento de la frontera.

Entonces si \partial B está incluido en B tenemos que B es cerrado. Y si es disjunta con B (es decir, \partial B \cap B = \emptyset) el conjunto B es abierto. Cualquier otra cosa que pase con la frontera, denota conjuntos que no son abiertos ni cerrados.
Esta manera de pensarlo creo que ayuda a entender el por qué de ese si y solo si.

Saludos.