Buenas, no estoy entendiendo como resolverlo. No hay modo de obtener una recta solo con un punto
¿Como puedo encararlo?
Gracias
Hola Daniel,
Es verdad que no se obtener una recta solo con un punto, pero además vos sabes que la recta tiene que ser paralela a los planos que te dan. Qué información de la dirección de la recta te dice esto?
Pensá eso y cualquier cosa preguntá de nuevo.
Saludos
Hola, si la recta tiene que ser paralela quiere decir que tiene los mismo vectores directores. El problema ahora es que veo que los planos se intersectan. ¿Es tomar la ecuación de ambos planos al mismo tiempo o primero analizo con una ecuación de un plano y luego la otra?
Saludos
Acordate que la recta tiene un solo vector director, mientras que el plano tiene 2, por lo que decir que la recta tiene los mismos vectores directores que un plano no es correcto.
Hay que tomar ambos planos. Antes de hacer nada, primero te recomiendo que juegues un poco con tu cuadernola para pensar qué es lo que buscas. Agarrá las tapas (por ejemplo) de forma que cada tapa sea uno de los planos, lo cuales se intersecan en el rulo. Qué tiene que pasar con la recta que querés hallar para que sea paralela a ambos planos (o sea, que no corte a ninguno)??
Hola, ya estuve viendo creo que entendí la idea, la recta va a ir paralela a ambos, no se como describirlo pero lo veo, el caso es que no se bien como proceder a busca la solución, Se me ocurre que podría hallar la intersección en ambos planos y luego sabiendo esa intersección utilizar el punto que tengo para hacer una recta que pase por el mismo y tenga la misma dirección que la recta de intersección de los dos planos.
Exacto! Si la recta es paralela a ambos planos entonces va a ser paralela a la recta que forma a su intersección.
Muchas gracias profe, a veces desconfió de mis cálculos porque me cuesta imaginar en 3D. Luego de intersectar los dos planos me quedó como solución e mi caso \( (4- \lambda, -2 -\lambda, 2\lambda) \) que son los valores de los puntos \( x, y, z \) en el espacio para un \( \lambda \) real cualquiera. En su forma paramentrica si le sumo el punto P de la letra, será como si desplazara la recta en esas cordenadas y como se que es la misma recta de la intersección se que va a ser paralela.
En ese caso la solución para la ecuación parametrica que hice sería \( (14-\lambda, 9-\lambda, 12+2\lambda) \)
Quería saber si es correcto verificar sustituyendo los \( x, y, z \) de las ecuaciones del plano por mis valores hallados.
¿Si no se intersectan tendrían que dar una igualdad falsa? (Por ejemplo 5=3)
A veces pasa lo de desconfiar, pero con la práctica vas ganando intuición y confianza!
Un detalle, al sumarle P a la recta es verdad que desplaza la recta en esas coordenadas pero eso no es lo que buscas, lo que querés es una recta que tenga la misma dirección que la de la intersección y pase por el punto P, osea: $$(x,yz)=P+\lambda v$$.
Lo de la verificación, si haces eso te tendría que dar SI ya que tu recta es paralela a ambos planos. Pero esto no te garantiza que la hayas "colocado" bien en el espacio (por ejemplo lo que hiciste vos, la dirección es correcta por no su posición). Se entiende?
Y lo último sí, si no se intersecan el sistema es incompatible por lo que te daría alguna igualdad falsa.
Gracias, si, para que no sea la misma posición basta con escribir por separado la ecuación de la recta.
O sea quedaría \( x,y,z=(14,9,12)+ \lambda (-1,-1,2) \) y por otro lado la ecuación del plano que sabemos que no es lo mismo no estaba donde el punto \( P \) se hallaba.
Nono, la recta que buscas es la que pasa por el punto $$P=(10,11,12)$$ y tiene la misma dirección que la recta de la intersección, es decir: $$(x,y,z)=(10,11,12)+\lambda (-1,-1,2)$$ (lo de escribirlo junto o separado es lo mismo).
Sumarle el punto $$P$$ a la recta de la intersección no va a hacer que esta pase por ese punto (a menos que la recta original pase por el origen, cosa que en este caso no pasa), lo que te interesa de la recta intersección es solo su dirección (xq sabes que esa dirección es paralela a ambos planos), luego con el punto $$P$$ de referencia podes armar la recta buscada (con un vector director y un punto de referencia podes armar una recta).
No entendí lo último, lo que decís es que $$P$$ no pertenece a ninguno de los planos? Esto tampoco sirve para verificar que está bien colocada, la forma de hacerlo es que el punto $$P$$ pertenezca a la recta (que si lo usas como punto de referencia es trivial que sí pertenece (tomando $$\lambda=0$$ es suficiente)).
¿O sea la ecuación de la recta que encontré no es correcta? Pero cuando hago la verificación de la intersección con el plano me resulta que es vacía ¿Seguro no es la recta que es paralela a la intersección de ambos planos?
\( P \) no pertenece a ningún plano porque la letra lo dice por eso puedo suponer que la recta no está contenida en ningún plano.
Es paralela si, pero no pasa por el punto P.
Gracias profe ví que subieron una resolución del problema.