Hola Daniel,
Por ejemplo, para el plano la primer coordenada es $$x=a_1+\lambda u_1+ \mu v_1$$ y para la recta $$x=b_1+\alpha w_1$$. Como vos querés hallar la intersección (es decir, los puntos en común) vas a igualar las coordenadas x, y, z del plano con las de la recta. Entonces para la primera coordenada te queda: $$a_1+\lambda u_1+ \mu v_1=b_1+\alpha w_1$$
Reptis esto para las otras dos, dejas las variables $$(\lambda, \mu, \alpha) $$ de un lado, los términos independientes del otro y resolves el sistema.
Cualquier cosa preguntá de nuevo.
Saludos