Foro Práctico 3.

En efecto, no conocés la capacitancia del sistema. Pero tampoco se precisa. 

La idea es que tenés que separar el medio dieléctrico en dos regiones: una en la que el dieléctrico es lineal (la región exterior en que el campo es menor) y otra en que el dieléctrico satura (la región interior). Ojo que esto no implica que la polarización sea constante, porque la polarización es paralela al campo eléctrico, y el campo eléctrico tiene dirección radial, por la simetría esférica. La transición entre ambas regiones se da cuando tengo un radio que podemos llamar R y es lo que se pide en la parte bii. En R ambos campos eléctricos tienen que ser iguales a $E_0$. 

Pero aplicando la ley de Gauss el desplazamiento eléctrico tiene la misma forma en ambas regiones: 

$\vec{D} = \frac{Q}{4 \pi r^2 } \vec{e_r}$

donde Q es la carga de la superficie conductora interior, r y $\vec{e_r}$ son los usuales de coordenadas esféricas. De allí obtenés el campo eléctrico en cada región en función de Q. Para la región lineal: 

$\vec{E} = \frac{ \vec{D} }{ \epsilon_0 + \frac{P_0}{E_0} }$

donde $\epsilon_0+ \frac{P_0}{E_0}$ es la permitividad en la región lineal .

Para la región no lineal: 

$\vec{E}= \frac{ \vec{D}-P_0 \vec{e_r} }{ \epsilon_0 }$

Luego integrando el módulo de los campos anteriores en r se obtienen las formas del potencial electrostático en las dos regiones. Al hacer esto aparecen dos constantes de integración, llamésmole A y B. Estas constantes se evalúan en función de Q haciendo que el potencial en r = 2a sea 0, y el potencial en r = a valga $V = \frac{P_0}{ \epsilon_0 }a$

Finalmente hay que hacer que el potencial sea continuo en r = R (porque el campo eléctrico es finito). Esto da otra relación entre Q y R, que con la que se había obtenido antes se puede despejar R y Q. Y con eso se conocen las cantidades que piden las partes bi y bii. 

De la polarización en cada zona se hallan las densidades de carga de polarización que se piden en biii.