4. b)

4. b)

de Facundo Campal Caputti -
Número de respuestas: 8

Hola, estoy intentando ver que   \int_{1}^{ +\infty }{ \frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} } } dx  converge.

Ya intenté con convergencia absoluta, pero me dio que no converge absolutamente, también probe' algunas comparaciones pero no llegué a al resultado.

Si me pueden tirar algún pique les agradezco.

En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: 4. b)

de Marcelo Fiori -

Hola Facundo,

  intentá hacer partes. La idea es que te quede un término con x^{-3/2}, y ahí sí podés usar convergencia absoluta (y el otro término que te queda de la integración por partes, va a ser un límite finito).

 

Saludos!

En respuesta a Marcelo Fiori

Re: 4. b)

de Facundo Campal Caputti -
En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: 4. b)

de Facundo Campal Caputti -

Tengo un par de dudas más de este ejericio.

La primera es si es correcto esto:   \frac{lim}{x \rightarrow +\infty  } \int_{1}^{x}({ \frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} }+ \frac{sin^2(x)}{x} )dx} = \frac{lim}{x \rightarrow +\infty } \int_{1}^{x}{\frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} }} + \int_{1}^{x}{ \frac{sin^2(x)}{x} }

La segunda es si es correcto esto:   \frac{sin^2(x)}{x} \approx \frac{1}{x}  (x \rightarrow + \infty)

En caso de que las dos sean correctas, supongo que no aplica el criterio del equivalente porque   \frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} }  es menor que 0 para algunos x, y por eso no cumple las hipotesis. Es correcto?

En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: 4. b)

de Seylen Rodriguez Hernandez -

Yo lo que hice para probar que eran equivalentes fue tomar el límite del cociente cuando x tiende  a infinito. Como da 1 son equivalentes. No aplica el criterio del equivalente por ese motivo si, tienen que ser no negativas por lo menos en el infinito y no pasa.

En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: 4. b)

de Alejandro Bellati -

Lo primero que mencionas es correcto. Lo que generaría dudas en todo caso es si es cierto que


  \lim_{x \to +\infty} \int_{1}^{x}({ \frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} }+ \frac{sin^2(x)}{x} )dx} = \lim_{x \to +\infty} \int_{1}^{x}{\frac{sin(x)}{ \sqrt[]{x} }} + \lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x}{ \frac{sin^2(x)}{x} }

¿Cuándo es válido eso?, ¿Cuándo el límite de la suma es la suma de los límites? ¿Cuándo no?

Lo segundo

  \frac{sin^2(x)}{x} \approx \frac{1}{x} (x \rightarrow + \infty)

fijate que le criterio del equivalente exige que \lim_{x \to \infty} f(x)/g(x) = \alpha > 0 sin embargo en tu caso queda

f(x)/g(x) = \sin ^2(x) lo cuál no converge, entonces no es correcto.

En respuesta a Alejandro Bellati

Re: 4. b)

de Facundo Campal Caputti -

Imagino que la propiedad de la suma de los limites se cumple solamente si los limites que se suman tienden a un numero real, ya que cuando tienden a infinitos no podemos sumarlos, tendriamos que estudiarlos de otra forma. No se si la idea es la correcta.


En respuesta a Facundo Campal Caputti

Re: 4. b)

de Alejandro Bellati -

Si exacto.

Cuando tienden a infinitos de distingo signos puede haber problemas. También cuando los límites no existe. Puede pasar que por separado cada limite no exista y sin embargo al sumarlos de algo que tiene límite. 

Por las dudas solo comento, todo esto son propiedades de límites más que de impropias.