Ejercicio en clase teorica de Openfing (Clase 16)

Ejercicio en clase teorica de Openfing (Clase 16)

de Diego Ismael Marichal Chavez -
Número de respuestas: 4

Hola, en un momento de la clase, Fiori esta realizando un ejercicio de integrales impropias, donde hay que utilizar las integrales mixtas, luego de desarrollar la integral mixta, empieza analizar si esta convergen o no, pero en la primera por el criterio de de que si el exponente era mayor a 1 era convergente, y si era menor estricto, divergente, el caso es que a mi me parece que es divergente, pero como nadie de la misma clase pregunto no tengo ni idea, la parte que me refiero comienza en el minuto 20.

Gracias de antemano y saludos : )

Diego

En respuesta a Diego Ismael Marichal Chavez

Re: Ejercicio en clase teorica de Openfing (Clase 16)

de Veronica Rumbo -

Hola Diego. No me queda del todo claro si tu duda era con respecto al criterio en sí o a por qué aplica en este caso.

  • En primer lugar, para integrar la parte que va de 0 a 1, acota el numerador y parte del denominador para que no molesten, entonces la integral queda del mismo tipo que \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}dx
  • Luego, notemos que \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}}. Es decir el exponente es menor a 1
  • Según el criterio, la integral impropia con un extremo en 0 para estos casos es convergente.
Sospecho que pueda estar generándote confusión el hecho de que el criterio cuando un extremo es en 0 es básicamente al revés que en el caso de la integral impropia con límite en + \infty. Es decir, si tuviésemos por ejemplo \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}dx, esa sí sería divergente.
En respuesta a Veronica Rumbo

Re: Ejercicio en clase teorica de Openfing (Clase 16)

de Diego Ismael Marichal Chavez -

Osea que si el punto complicado es el extremo inferior, cambia el criterio?

Pasa a ser convergente cuando es menor e igual que 1 y divergente si es mayor que 1?

Saludos Muchas gracias

Diego : )

En respuesta a Diego Ismael Marichal Chavez

Re: Ejercicio en clase teorica de Openfing (Clase 16)

de Veronica Rumbo -

Sí, cambia el criterio.

El único detalle en lo que decís ahora esta en el caso en que el exponente es igual a 1. Si el exponente es 1, la integral diverge en ambos casos.

Para ayudar a interpretar esto te dejo unas gráficas donde podés variar el exponente en \frac{1}{x^\alpha} y verlo junto al gráfico de 1/x. Te recomiendo fijarte como quedan las gráficas (cuál acota a cuál), en los entornos de x = 0 y x \rightarrow \infty para los distintos casos de \alpha.

https://www.geogebra.org/calculator/dqvb2kdz