Hola Axel,
Es correcto que si una fila/columna es combinación lineal de las demás entonces el determinante será nulo. Esto es debido a que al ser combinación lineal de las demás, es posible obtener una fila/columna de ceros mediante algunas operaciones. Aplicar estas propiedades ya implica utilizar propiedades conocidas de los determinantes para deducir que vale cero sin calcular el determinante de manera estricta, pero casi siempre vas a tener que realizar algunas cuentas antes de concluir algo. A medida que se tiene más práctica resulta un poco más fácil ver las combinaciones, pero no es nada formal. En este caso, por ejemplo, se cumple que $$C_4=-7C_1+C_2+7C_3$$ donde $$C_i$$ representa la i-ésima columna (para llegar a este resultado resolví el sistema homogeneo).
Saludos