GAL1-2S: Ejercicio 1-D

Hola, buenas tardes. Realizando el ejercicio anteriormente mencionado mediante el método de escolarización de rouche frobenius logro obtener una matriz con una fila nula, por lo cual el determinante es 0. Lo que me gustaría saber es si hay alguna propiedad que se cumpla tal que podamos saber que la matriz es nula antes de tener que escalerizar u operar con matrices adjuntas. Según tengo entendido, si una fila/columna es combinación lineal de otra el det = 0 pero en esta matriz no logro encontrar proporcionalidad ni combinaciones lineales. Espero se entienda mi pregunta y puedan ayudarme.

Gracias!

Re: Ejercicio 1-D

de Martin Eduardo Kenny Pujadas - lunes, 21 de septiembre de 2020, 13:59

Hola Axel,

Es correcto que si una fila/columna es combinación lineal de las demás entonces el determinante será nulo. Esto es debido a que al ser combinación lineal de las demás, es posible obtener una fila/columna de ceros mediante algunas operaciones. Aplicar estas propiedades ya implica utilizar propiedades conocidas de los determinantes para deducir que vale cero sin calcular el determinante de manera estricta, pero casi siempre vas a tener que realizar algunas cuentas antes de concluir algo. A medida que se tiene más práctica resulta un poco más fácil ver las combinaciones, pero no es nada formal. En este caso, por ejemplo, se cumple que $$C_4=-7C_1+C_2+7C_3$$ donde $$C_i$$ representa la i-ésima columna (para llegar a este resultado resolví el sistema homogeneo).

Saludos