La afirmación es falsa. No necesariamente $$A+B$$ será invertible. Por ejemplo, si la i-ésima fila de la matriz $$A$$ es opuesta a la i-ésima fila de la matriz $$B$$ entonces la matriz $$A+B$$ tendrá la i-ésima fila compuesta únicamente por ceros, por lo que no será invertible, mientras que las matrices $$A$$ y $$B$$ pueden perfectamente ser invertibles y verificar las condiciones supuestas.
Saludos