CDIVV-2S: Ejercicio 8.b

Tengo una idea para este ejercicio, pero no se si lo estoy pensando correctamente. En las clases de openfing vimos que si tenemos la serie de log(1+1/n), y sabemos que log(1+1/x) es menor o igual que 1/n, podíamos comparar las sucesiones y llegar a que 1/n es divergente. Mi duda es si puedo comparar log(n+1) con n, porque ya sé que n es divergente. Pensándolo un poco como se que log(n+1) es menor o igual que n no podría afirmar nada a priori.

Si estoy fallando en alguna parte me gustaría que me corrigieran y si me pueden guiar sería mejor!

Gracias!!

Re: Ejercicio 8.b

de Veronica Rumbo - jueves, 10 de septiembre de 2020, 23:19

Hola Ivan, creo que vas bien encaminado. Es cuestión de ordenar un poco las ideas nomás.

A la pregunta de si se puede comparar $n$ con $\log (n+1)$ , te respondo que en principio podés comparar dos expresiones cualesquiera en tanto una acote (convenientemente, digamos) a la otra. Lo que necesitamos es que dicha acotación suceda, o bien para todo $n$ natural, o bien a partir de cierto $n$ .

Dependiendo de si estamos probando que la sucesión es convergente o divergente el tipo de acotación necesaria. En este caso, como bien intuís, vas a poder probar que $n$ acota superiormente a $\log (n+1)$ para $n$ positivo. Esto te permite afirmar que

$\frac{n}{(n+1)\log(n+1)} \geq \frac{n}{(n+1)n}$

donde la desigualdad está en ese sentido porque la cota la tomamos en el denominador.

Tengamos en cuenta también que, al estar acotando nuestra serie por debajo y ser ésta de términos positivos, esto es útil sólo en caso de divergencia. Es decir, si la cota inferior que hallas diverge, también lo hará la serie original. Pero si converge, no te permite decir nada de la otra serie.

Al final dije más o menos lo mismo que vos, un poco más ordenado. Pero creo que con esto ya casi casi casi lo tenés resuelto.

Saludos.