3.1.c

3.1.c

de Salvador Diaz Escardo -
Número de respuestas: 2

No logro comprender como probar que la función es biyectiva, creo que no entiendo como definen la función S a partir de un producto de matrices.

En respuesta a Salvador Diaz Escardo

Re: 3.1.c

de Bruno Dominguez -

Hola Salvador, fijate que si haces el producto de matrices que dan la función \( S: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) resulta \( S((x,y)^t)=(y,x)^t \), y de esa manera queda definida, siendo geométricamente una simetría respecto a la recta x=y (como un espejo puesto a 45º).

Una función es biyectiva si es inyectiva y biyectiva a la vez:

Inyectiva: Si\ x \neq y \implies f(x) \neq f(y) (o sino, Si \ f(x)=f(y) \implies x=y ). O sea que cada punto tiene una imagen distinta.

Sobreyectiva: \forall punto del codominio u, existe un punto en el dominio x tal que f(x)=u. O sea que todos los puntos del codominio son imagen de algún punto del dominio.

Estas son las definiciones de inyectivo y sobreyectivo y eso lo que hay que probar.

Cuando una función es biyectiva, la correspondencia entre A y B es uno a uno y por lo tanto existe una única función \( g: B \to A \) que es la función inversa que se define de la siguiente forma: \( g(b)=a \) si y sólo si \( f(a)=b \).


Probá si con esto ahora sale y sino lo seguimos viendo.

Saludos