CDIVV-2S: Ejercicio 9

Hola, en el video de la resolución del ejercicio 9 del practico 3, en la parte b) se llega a que 3 <= (an+1)^2

No logro entender como esto demuestra que an <= an+1, siendo que no sabemos si an >= sqrt(3) para todo n >= 1.

Re: Ejercicio 9

de Veronica Rumbo - viernes, 4 de septiembre de 2020, 00:51

Hola Fernando, es cierto que esa afirmación falta probarla. Es cierto que $a_n \geq \sqrt{3}$ . Pero habría que probarlo. Para ello te recomiendo hacerlo por inducción (el caso base es trivial, pues $a_1 = 3$ ). Luego como

$a_{n+1} = \frac{3(1+a_n)}{3+a_n}$

Se puede resolver la inecuación

$\frac{3(1+a_n)}{3+a_n} \geq \sqrt{3}$

y ver qué tiene que cumplir $a_n$ para que se cumpla la inecuación (y dicha condición será coherente con la hipótesis de inducción).