No se por que pero mi solucion quedo distinta. K(t) me dio Ln(t-1) y la solucion homogenia me dio k(t^2-t), entonces cuando hago la multiplicacion no me da t que segun la solucion es lo que tiene que dar la solucion no homogenia hay alguna solucion con desarollo del ejercicio?
No logro darme cuenta de dónde salió ese 
, pero no es solución de la ecuación. La solución de la ecuación homogenea sí está bien.
Teniendo la solución de la ecuación homogénea basta con encontrar una solución particular de la no homogénea para obtener la solución general correspondiente (sumándosela a la solución general de la no homogénea). Recomiendo como estrategia intentar primero buscar dicha solución particular apelando a la intuición. En este caso, dado que el término 
es polinómico, intentaría buscar una solución particular que sea un polinomio.
Por ejemplo, probar con algo de la forma 
(con 
y 
a determinar), o si no funcionase, 
de modo similar, también. Si bien hay mucho de tanteo acá, lo bueno es que partir de una expresión de este tipo, derivar, sustituir en la ecuación diferencial y buscar constantes que sirvan, no es un procedimiento complejo. Haciendo eso rápidamente deberías encontrar la solución particular 
. Y si la encontrás porque simplemente te inspiraste y te pareció que podía ser, también sirve siempre y cuando verifiques que es solución.
Espero esto sirva de guía. Saludos