Ejercicio 6

Ejercicio 6

de Elias Carlos Almeida Maldonado -
Número de respuestas: 4

Buenos días, no se me ocurre que forma tiene que tener la sucesión para que tenga puntos de aglomeración, desde ya muchas gracias.

En respuesta a Elias Carlos Almeida Maldonado

Re: Ejercicio 6

de Maria Belen Santos Incerti -

Buenas, me sumo a la duda. En realidad tengo algunas ideas pero no se como escribirlas, importa eso? 

Por ejemplo, en la parte uno (que también sirve para la parte dos) se me ocurrió que podría ser an=n/(el numero de entrada), y mis subsucesiones serian los múltiplos del punto de aglomeración al que quiero llegar. De esa forma, si el punto de aglomeración es 3, mi subsucesión seria (3,6,9,12,15...) y ank = (3/1; 6/2; 9/3; 12/4; 15/5;...). El problema es que no se como escribir lo de la división por el numero de entrada.

Se que es confuso, pero es la única forma que se me ocurrió, me gustaria saber si hay alguna forma mas sensilla o si esa es correcta.

Gracias, saludos.

En respuesta a Maria Belen Santos Incerti

Re: Ejercicio 6

de Carolina Puppo -

Buenas, 

como dice el ejercicio 6, un punto es de aglomeración de una sucesión si existe una subsucesiòn que converge a este punto.

Un ejemplo de un punto de aglomeración es el límite de una sucesión convergente, porque sabemos que toda subsucesión de una sucesión convergente a L, converge a L también.

Consideremos la sucesión a_n=(-1)^n\frac{n+1}{n} observar que:

  • a_{2n}=\frac{n+1}{n} 
  • a_{2n-1}=\frac{-n-1}{n}

La subsucesión a_2n converge a 1 y a_{2n-1} converge a -1 por lo tanto 1 y -1 son puntos de acumulación de la sucesión a_n.

En particular, en el ejercicio 6 les piden construir una sucesión cuyos puntos de acumulación sean 1,2,3,4. Hay varias sucesiones que cumpliran esto, por ejemplo:

a_n=1 si n=4m, a_n=3+\frac{1}{n} si n=4m+1, a_n=4-\frac{1}{n} si n=4m+2 y a_n=2+\frac{1}{n^2} si n=4m+3.

También podemos definir una sucesión b_n=1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,\ldots, ¿cómo escribirian el término enesimo de b_n?

¿Con esto pueden hacer la parte b)?

 
En respuesta a Carolina Puppo

Re: Ejercicio 6

de Diego Ismael Marichal Chavez -

Hola estaba haciendo el ejercicio b

Y se me ocurrio esto, osea utilizar una sucesion que tenga un doble sub indice, elijo el punto de aglomeracion k y luego pruebo con todos los naturales.

a_sub(n_sub(k)) = kn - (kn -k)

No se si se enteinde la idea, y tampoco se si es correcto, saludos y muchas gracias

Diego

En respuesta a Diego Ismael Marichal Chavez

Re: Ejercicio 6

de Carolina Puppo -

 

Para construir una sucesiòn que aglomere en todos los naturales, podemos intentar copiar la idea de la sucesión de la parte anterior. Es decir, una sucesiòn que haga lo siguiente: recorrer los naturales de 1 a n, luego de 1 a n+1, y así sucesivamente, pasando por todos los naturales infinitas veces.

a_n=1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,7,\ldots

Sin embargo, es un poco molesto escribir esto de forma compacta (a pesar de que la idea es correcta).

Dado n, definimos an = r si n = p^r con p algún  primo y a_n= 0 en caso contrario.

Dado que los números primos son infinitos, y la descomposiciión de un natural en productos de primos es única, necesariamente a_n deberá pasar por todos los naturales infinitas veces. Por ejemplo, dado r_0 natural, una subsucesión que converge a r_0 es la correspondiente a los números \{2^ r , 3^ r , 5^ r , \ldots, 7523^r , \ldots \}.