Hola, intenté demostrar el 5 parte C y me quedó algo como esto, no estoy seguro si me estaría faltando algo o si por ahí lo encaminé mal, si podrían darme una mano.
Sobre la parte D, estoy medio perdido de como comenzar la demostración, si pudieran darme algún consejo.
Hola Gastón,
La idea no está mal, igualmente te recuerdo que la demostración debería realizarse para un sistema genérico de m ecuaciones y n incógnitas. Resulta muy útil aplicar el teorema de Rouché-Frobenius para ambas partes.
Por ser un sistema homogéneo el sistema siempre será compatible (el número de escalones p de la matriz será el mismo que el número de escalones p' de la matriz ampliada). Ahora, sabiendo que p≤m (esto es debido a que nunca podré tener más escalones que filas en una matriz) podemos afirmar que entonces p≤m<n por lo que, aplicando el teorema mencionado, se deduce que el sistema es compatible indeterminado, lo cual es equivalente a plantear que el sistema tiene soluciones no triviales.
Para la parte (d) la idea es similiar. partiendo de la hipótesis de que el sistema es compatible determinado se sabe que p=n. Aplicando nuevamente que p≤m se obtiene la tesis.
Cualquier duda que pueda haber quedado preguntá de nuevo.
Saludos