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Estimada Romina,

las preguntas de este ejercicio se pueden contestar perfectamente con las cantidades conservadas que identificaste que son: la componente vertical del momento angular y la energía mecánica del sistema partícula + barra (se puede dar por bueno que tenés las ecuaciones de movimiento del sistema al haber escrito cada cantidad en términos de $r$, $\dot r$, $\dot \varphi$).

A efectos de contestar la pregunta b), tenés que combinar las dos cantidades conservadas y eliminar entre ellas $\dot \varphi$, de manera de que te quede para analizar $\dot r^2$ en función de $r$, que debe ser siempre positiva o nula ($\dot r^2 \geq 0$) en el tramo de valores de $r$ admisibles (en particular, tiene que llegar la partícula al eje [$r=0$]).

Saludos,

Ariel.