Examen julio 2010, ej. 1d

Examen julio 2010, ej. 1d

de Felipe Rafael Tambasco Furtado -
Número de respuestas: 5
Hola. 
Este es el examen. 

Según entiendo, como la superficie está orientada con la normal interior, el flujo de X en la superfice es igual al opuesto de la circulación de Y sobre su frontera, que en este caso la esfera sin los casquetes, sería igual a la resta entre la circulación de la frontera de la "tapa" y la circulación entre la frontera de "abajo".

Y esto no es lo que aparece en la solución. Yo lo estoy entendiendo mal?
En respuesta a Felipe Rafael Tambasco Furtado

Re: Examen julio 2010, ej. 1d

de Rodrigo Patiño Eguren -
No estoy seguro de entender lo que dijiste pero lo de la solución esta bien. Si cuando decis normal interior te referís a normal entrante entonces creo que esta mal, pues la normal que NO apunta hacia el eje z es saliente. En la solución dice que el flujo de campo X a través de S con normal saliente es igual al flujo de rotor de Y a través de S con normal saliente y por Stokes es igual a la circulación de campo Y en la tapa de arriba con sentido horario mas la circulación de campo Y en la tapa de abajo con sentido antihorario (las orientaciones de la curvas lo ves usando la regla de la mano derecha cerca de dichas curvas y usando normal saliente).
Otra forma de verlo es que el campo X (si es el definido en la parte b) tiene divergencia cero (fijate que está definido en todo R3) podes aplicar el teorema de Gauss considerando la superficie cerrada (S mas las tapas) y como la integral triple en el volumen es cero (porque divX es cero) tenes que el flujo de campo X a través de S con normal saliente es igual a menos paréntesis el flujo de campo X a través de la tapa de arriba con normal saliente + el flujo de campo X a través de la tapa de abajo con normal saliente y eso es igual a la suma de los flujos de X a través de la tapas de arriba y abajo con normal entrante ambas. Luego el flujo de X en cada tapa es el flujo del rotor Y en cada tapa y aplicas Stokes, y si usas orientación entrante en cada tapa las orientaciones te quedan horaria y antihoraria para las tapas de arriba y abajo respectivamente, quedando lo mismo que la solución. Espero no haberme equivocado suerte!  
En respuesta a Felipe Rafael Tambasco Furtado

Re: Examen julio 2010, ej. 1d

de Sixto Corbo Barreto -
Una forma de ver el problema: todo es cuestión de la convención que se aplica. Se considera positivo el sentido "antihorario" y dado que una vez que queda definido la normal para una de las superficies (suponiendo la tapa de "arriba" a saber z=1/sqrt(2)), se define la orientación para tapa de "abajo" a saber z=1/sqrt(2). Si se aplica el Teorema de la Divergencia dado que la superficie es cerrada y normal saliente y considerando que es aplicable el teorema de Stokes para cualquiera de las superficies simplemente conexas con la frontera C (a saber: la circunferencia x^2+y^2=(1/sqrt(2))^2), se deduce que el flujo es el mismo. Por lo que el flujo neto será 0 (por el hecho de que la Div(Rot (X))=0. Se destaca que X está definido como lo dice la letra y a su vez es de Clase C1. Espero haber ayudado.
En respuesta a Sixto Corbo Barreto

Re: Examen julio 2010, ej. 1d

de Felipe Rafael Tambasco Furtado -
Ah, ahora entiendo. Es Gauss y después Stokes. Como la divergencia en la región se anula, el flujo de X en las tapas es igual al flujo en la superficie, entonces, el flujo a través de la superficie es igual a la suma del flujo del rotor de Y en las tapas, orientadas con normal entrante.
En respuesta a Felipe Rafael Tambasco Furtado

Re: Examen julio 2010, ej. 1d

de Rodrigo Patiño Eguren -
En realidad aplicas Stokes directo, sabiendo la orientación de la normal de la superficie a la cual le queres calcular el flujo del rotor podes determinar la orientación de los bordes sin problemas y calcular esas circulaciones. Lo de Gauss lo mencione por si no te dabas cuenta de cual era el sentido de las curvas, porque asi aplicas Stokes a las tapas (envés de la superficie que queres calcular) y las orientaciones son mas fáciles de ver con la regla de la mano derecha (igual es fácil también en el otro caso). También te sirve para verificar si el sentido de las curvas lo tomaste bien en el primer caso.
O sea es todo lo mismo, si queres calcular el flujo de rot (Y) y te tomas el campo X tal que X = rot (Y) luego ya sabes que div (X) es cero y si aplicas el teo. de Gauss te queda el mismo resultado, pero a lo que quiero llegar es que aplicas Stokes directo porque no estoy seguro si lo de Gauss se cumple siempre (creo que sí porque Y tiene que ser C1), cuando en clase te explican como calcular el flujo del rotor de un campo con Stokes no utilizan Gauss. Lo que si estoy seguro es que en ese ejercicio se cumple, pero no te quedes con la idea de que tenes que pasar por Gauss para aplicar Stokes.
Fiajte que cuando aplicas Stokes en superficies como un cilindro, tronco de cono, seccion de paraboloide, etc, las orientaciones de las curvas borde son contrarias ("se restan") y si te tomas las orientaciones al revés (contrarias pero no acorde a la normal de la superficie) te da el flujo con la normal opuesta.
Espero que no sea muy confuso y que no me haya equivocado.
En respuesta a Felipe Rafael Tambasco Furtado

Re: Examen julio 2010, ej. 1d

de Sixto Corbo Barreto -
Quizás estés confundiendo cuando y como aplicar Stokes y cuando y como aplicar Divergencia (Gauss). El teorema de Stokes es aplicable siempre y cuando el campo vectorial sea continuo y diferenciable en la superficie S (que puede ser cualquier superficie que tenga como frontera la curva C). En el teorema de Divergencia es aplicable en el caso que la superficie sea cerrada y el campo vectorial sea continuo y diferenciable en D (espacio encerrado por la superficie, incluyendo la propia superficie (frontera de ese espacio). O sea aquí se responde tu inquietud. No se trata de aplicar Gauss(divergencia) y después Stokes, se trata de aplicar en el caso de tratarse de una superficie cerrada (Se aplica Teorema Divergencia) o si no es cerrada (Stokes) siempre que se cumplan las hipótesis del teorema. En el ejercicio, la superficie es cerrada. El flujo a través de ella, es la suma de los flujos a través de las 2 tapas y de la porción de esfera sin los casquetes. Por el hecho de estar en las hipótesis del teorema de la divergencia, esa suma de flujos es igual a la triple integral de la divergencia del campo vectorial. Ahora bien, X=rot(Y) por las partes anteriores del ejercicio. Sin calcular los flujos por separado, se puede decir que el flujo neto es 0 dado que la DivX=Div(Rot(Y))=0, por lo que la triple integral es 0. Pienso que si se calculara el flujo por separado, entonces el flujo en las tapas son iguales y opuestos por el hecho de que las normales son salientes(regla mano derecha). En la porción de esfera, la normal es saliente y el flujo es 0 porque hay simetría y se anulan todas las contribuciones. Espero haberme explicado y no haberme equivocado. Un abrazo. Sixto.