Estimado:
No. No se considera un entrono del instante inicial. Se pide la ecuación de movimiento siempre que el estado de movimiento sea el descrito en el enunciado. Y la trayectoria de 
no es desconocida, porque se mueve dentro del tubo, que actúa como guía.
El enunciado de la letra dice que el tubo es liso. Esto implica que no hay reacción de la guía tangente al tubo. Sí puede haber componentes de la reacción según las direcciones normales a la guía (que según el triedro de Frenet son la dirección normal y la dirección binormal). Te aclaro por las dudas que la reacción tiene dos componentes: la componente normal (
en este caso) y la componente binormal (perpendicular al plano de la guía en este ejercicio). Y a priori las dos pueden aparecer.
Pero por ser la guía lisa, la ecuación de movimiento se halla proyectando la 2a ley de Newton según la tangente al tubo (perpendicular a las direcciones normal y binormal, entonces las reacciones de la guía no aparecen). Esto siempre es así cuando una guía es lisa: la ecuación de movimiento se obtiene proyectando según la dirección tangente a la guía.
Si como en este ejercicio la guía se mueve, hay que pararse en el referencial de la guía, y calcular las componentes de aceleración relativa, de arrastre y de Coriolis (que siempre va a ser perpendicular a la guía, porque es perpendicular a la velocidad relativa, que es según la tangente), que en este ejercicio te lo pidió en la parte a.
En este caso particular, al hacer esa proyección aparece la tensión del hilo, que se hallará haciendo lo mismo sobre la otra partícula y usando el vínculo de que el hilo es inextensible (largo constante).
Saludos:
Ricardo.