Buenas,
las placa de los capacitores son conductoras, por lo que cada punto de la placa está al mismo potencial. Por lo tanto, deberías ver la misma diferencia de potencial si recorres el camino de la integral del campo en un camino que vaya entre las placas por el dieléctrico o no.
La solución decide considerar el sistema de dos capacitores equivalentes y debe darte idénticos resultados si lo pensas en términos del campo eléctrico (recordá que para aplicar ley de Gauss con dieléctricos tenés que considerar la constante dieléctrica de material).
Si lo hicieras con campos, el campo entre las placas en la parte con dieléctrico debería ser algo así como 
y entre las placas en la región sin dieléctrico 
. Al usar el hecho que la carga se conserva cuando luego de desconectada la batería y que la diferencia de potencial es la misma (V2) entre las dos placas, puedes encontrar las dos densidades de carga por ejemplo.
Espero esto ayude, cualquier cosa a las órdenes