Hola,
Sin ver más detalladamente lo que hiciste es un poco difícil responderte. La clave para resolver este problema por energía es que hay que plantear la conservación de la energía en el sistema relativo. Esto es sutil. En el sistema absoluto la energía no se conserva porque la normal trabaja, es decir el producto escalar entre la normal y la velocidad absoluta es no nulo y por lo tanto esta fuerza no es de potencia nula en el sistema absoluto. En el sistema relativo sin embargo, la normal es de potencia nula, dado que el producto entre la normal y la velocidad relativa es nulo.
Por otro lado, la ecuación de Newton puede pensarse como una ecuación en que se iguala masa por aceleración en el sistema relativo a la fuerza neta más las pseudofuerzas debidas al hecho de que no estamos en el sistema inercial, en este caso la fuerza de transporte ala que se hace referencia en las partes anteriores del ejercicio. Resulta que en este caso particular esta pseudofuerza deriva de un potencial (como se explica en partes anteriores del ejercicio). Entonces dado que las únicas fuerzas de potencia no nula (en el sistema relativo) derivan de un potencial (es decir son conservativas) resulta que en el sistema relativo se conserva una suerte de energía del sistema relativo:
E' = K' + U'
Las primas están porque estas son cantidades en el sistema relativo. Por ejemplo, K' es la energía cinética calculada con la velocidad relativa. U' es el potencial que incluye tanto el potencial del resorte como el potencial asociado a la pseudofuerza que mencionaba en el parrafo anterior.
La conservación de E' te debería dar las ecuaciones de movmiento correctas.
Espero que esto te sirva, de lo contrario no dudes en volver a preguntar.
Guzman