Alguna ayuda de como probar esto?
Hola, Pablo:
Cuando se nos manda a demostrar que cierta función no es un producto interno, basta con indicar y probar que al menos una de las cuatro propiedades de la definición de producto interno no se cumpla para la función dada. Por lo general, la propiedad que suele fallar es la número 4: más específicamente, la implicación <v,v> = 0 => v = 0 suele fallar. La idea es entonces buscar un vector v no nulo en el espacio vectorial considerado tal que <v,v> = 0.
Así, para el ejercicio que preguntas, basta con que encuentres una función f que sea continua y no nula sobre [0,1] y que <f,f> = 0, es decir, que el área bajo la curva de f^2 sea nula entre 0 y 1/2. Debes construir tal contra-ejemplo. Dibujar la situación planteada ayuda en estos ejemplos que tienen que ver con el espacio vectorial de funciones continuas en [0,1]. Ojo, el dibujo por sí solo no es un contra-ejemplo, pero te puede ayudar a dar con uno. Debes especificar quién es tal f dando una fórmula para f(x).
Saludos,
Marco