La primera parte del ejercicio el polinomio característico no tiene raíces reales, entonces significa que no tiene valores propios en los reales. Que pasa con el subespacio propio?, al no tener valores propios supongo que no puedo hablar de vectores propios y directamente no tiene.
No se si es así de simple, me gustaría que me sacaran la duda o saber como se escribe mas formal.
Hola, Gianluca:
Si el polinomio característico del operador T no tiene raíces reales, entonces no tiene valores propios (siempre y cuando lo veas como un operador sobre un espacio vectorial real). Es así de simple. Tampoco habrán vectores propios en este caso, por supuesto. Esto no es nada raro, pues pueden haber operadores lineales sin vectores propios (e.g. la rotación en el plano alrededor del origen y de ángulo diferente de múltiplos de pi).
Claro, lo anterior cambia si al operador lo consideras sobre un espacio vectorial complejo. Recuerda que un polinomio de grado n y con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas (contando multiplicidades). Esto es el famoso Teorema Fundamental del Álgebra.
Saludos,
Marco
Si el cuerpo que se trabaja son los reales, entonces no tiene valores propios y por tanto tampoco vectores propios ni el subespacios asociado tampoco. Si trabajas en complejos si lo tendría.