Operando en el ejercicio 9 b) me quedó que T'(t) = alfa''(t)/norma de alfa'(t).
Por lo tanto, en el ej. 11, k(s) me quedó que T'(s) = alfa''(s) (porque la norma de alfa' es 1 por hipótesis).
(Igualmente no entendí el hecho de que en el ej 9 y 12 se hace referencia a alfa (t), mientras que en el ej 10 y 11 a alfa de (s), no entiendo la diferencia entre ambas expresiones)
La duda principal es , en el 12, cuando la norma de alfa'(s) no es uno, intento operar con lo que me quedó en el 9 b) para llegar al resultado y en este caso no llego a la expresión dada.
No se si tengo un error antes...o es en el 12 que estoy operando mal. Gracias!
Primero la diferencia entre alfa(t) y alfa(s). En los ejercicios que mencionas s se refiera a un tipo de parámetro particular, s es la longitud de arco. Alfa(t) se refiere a que es una parametrización cualquiera.
Voy a tratar de explicar cómo se llega a la expresión de la curvatura dada en el ejercicio 12. Por un lado sabemos que k(s)=||dT/ds|| (expreso la derivada de esta forma porque vamos a derivar respecto a otra variable t)
Sabemos que s(t) es la integral entre a y t de ||d(alfa)/dt||, así que la derivada ds/dt=||d(alfa)/dt||.
Por otro lado (regla de la cadena)
dT/ds=(dT/dt)/(ds/dt)=(dT/dt)/||d(alfa)/dt||
Así que tenemos que calcular dT/dt
Sabemos que T=(d(alfa)/dt)/||d(alfa)/dt|| así que para calcular su derivada vamos a precisar la derivada respecto a t de ||d(alfa)/dt||.
Calculando directamente ven que esta derivada da (d^2(alfa)/dt^2).T (donde el punto representa el producto escalar)
Ahora aplican la regla de la derivada del cociente para calcular:
d/dt[(d(alfa)/dt)/||d(alfa)/dt||]=A/B
B= ||d(alfa)/dt||^2
A=||d(alfa)/dt||[(d^2(alfa)/dt^2)- {(d^2(alfa)/dt^2).T}T]
La expresión entre corchetes tiene norma igual a ||(d^2(alfa)/dt^2)xT||(x es el producto vectorial)
Haciendo A/B se obtiene la expresión buscada
Me quedó todo claro, muchísimas gracias nuevamente por las respuestas! Saludos.