2do Parcial 2015 ejercicio 3 parte a

2do Parcial 2015 ejercicio 3 parte a

de Rodrigo Hitta Olivera -
Número de respuestas: 2

Hola, tengo algunas dudas de este ejercicio y quería consultar si de esta forma esta bien resuelta la parte 3.a). Saludos.

f:C-C entera. Probar que f es constante

a

En respuesta a Rodrigo Hitta Olivera

Re: 2do Parcial 2015 ejercicio 3 parte a

de Bernardo Marenco -
La idea está bien, aunque hay cosas de notación que no me cierran, como por ejemplo \overline{f(C)} = \partial C \cup C. En todo caso sería \overline{f(C)} = \partial f(C) \cup f(C).

Por las dudas, la idea de la prueba es la siguiente: si existe z_0 que no está en la clausura de f(C), entonces para todo z\in C se cumple que f(z) \neq z_0. Además, existe un disco de centro z_0 y radio r que no corta a f(C) (ni a su borde). Esto implica que |f(z) - z_0| > r para todo z. De estos dos hechos concluimos que g(z)=\frac{1}{f(z)-z_0} es entera y que |g(z)| < \frac{1}{r}, por lo que por el teorema de Liouville g es constante, y por lo tanto f también.

Saludos