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Para la parte b), intenté hacer un cambio de variable:

$e^{zi} = u, e^{-zi}= u^{-1}$

$\rightarrow (\frac{(u - u^{-1})}{2i})^2 + (\frac{(u + u^{-1})}{2i})^2 = 1$

$\rightarrow (u - u^{-1})^{2} = u^{2} - u^{-2} -2$ y $(u + u^{-1})^{2} = u^{2} + u^{-2} +2$

Tener en cuenta que $u^{-1} = \frac{1}{u}$ y $u^{-2} = \frac{1}{u^{2}}$ 

Continuando con la cuenta, los términos con u se cancelan y se obtiene la identidad buscada. Espero no sea muy rebuscado esto, ya que me pareció un poco más complicado trabajar con las exponenciales directamente.

Saludos.