Idea: ya tenemos la base de vectores propios, y podemos expresar el SLIT en forma diagonal. Falta cambiar de base a la señal. muchas señales se pueden representar como superposición de exponenciales:

Síntesis

  • x[n] = 1/2π ∫2 π X(e ) ejnθ

Análisis

  • X(e ) = ∑n x[n] e-jnθ

X se llama "espectro de x"

notar que H = F(h)

  • Entonces: sabemos calcular h[n] a partir de un H dado

Convergencia

La convergencia de la ecuación de análisis determina qué señales se pueden representar por Fourier: |X(e )| < ∞ para todo θ.

1: Condición suficiente - x absolutamente sumable

  • plantear |X|, y acotar por desigualdad triangular
  • en este caso, hay convergencia uniforme plantear XM = ∑-MM
  • ej. sistema estable siempre H(e ) converge uniformemente
  • ej. x[n] = u[n] an

2: Convergencia en media cuadrática

  • ∑ |x|2 < ∞
  • entonces limM2 π | X - XM |2 dθ = 0
  • ej. pasabajos θc
    • h[n] = sin ( θc n ) / π n
    • introducir función sinc
    • notar que es no causal (hay un resultado genérico)
    • h1 = ∞ : no es absolutamente sumable (decae como 1/n)
    • dibujar H, HM para varios M (pag 50)
    • introducir fenómeno de Gibbs

3: secuencias no sumables (de potencia finita)

  • ej: 1 ↔ ∑r 2π δ( θ + 2π r )
  • ej. ejn θ0 ↔ ∑r 2π δ( θ - θ0 + 2π r )

Propiedades

  • simetría: idem que serie de fourier. Lo único interesante es H real
  • linealidad
  • corrimiento temporal: x[n-nd] ↔ e-jθ ^nd X()
  • corrimiento en frecuencia: ejnθ0 x[n] ↔ X( ej(θ-θ0) )
  • inversa temporal: x[-n] ↔ X( e-jθ )
  • diferenciación en frecuencia: n x[n] ↔ j dX/dθ
  • Parseval: E = ∑ |x|2 = 1/2π ∫ |X|2

    • (|X|^2) se llama densidad espectral de energía
    • Marc-Antoine Parseval des Chenes 1755 - 1836
  • Convolución: Y = H.X

  • Modulación (producto por ventana): y=xw ↔ Y = 1/2π ∫ X(e ) W(ej(θ-φ) ) dφ

Ejemplos

  • δ[n] ↔ 1
  • an u[n-5]
  • y[n] - 1/2 y[n-1] = x[n] - 1/4 x[n-1]
    • pasar a h, δ
    • tomar transformada
    • buscar inversa
Última modificación: miércoles, 20 de agosto de 2014, 20:20