Idea: ya tenemos la base de vectores propios, y podemos expresar el SLIT en forma diagonal. Falta cambiar de base a la señal. muchas señales se pueden representar como superposición de exponenciales:

Síntesis

• x[n] = 1/2π ∫_{2 π} X(e^jθ ) e^jnθ dθ

Análisis

• X(e^jθ ) = ∑_n x[n] e^-jnθ

X se llama "espectro de x"

notar que H = F(h)

• Entonces: sabemos calcular h[n] a partir de un H dado

Convergencia

La convergencia de la ecuación de análisis determina qué señales se pueden representar por Fourier: |X(e^jθ )| < ∞ para todo θ.

1: Condición suficiente - x absolutamente sumable

• plantear |X|, y acotar por desigualdad triangular
• en este caso, hay convergencia uniforme plantear X_M = ∑_-M^M
• ej. sistema estable siempre H(e^jθ ) converge uniformemente
• ej. x[n] = u[n] aⁿ

2: Convergencia en media cuadrática

• ∑ |x|² < ∞
• entonces lim_M ∫_{2 π} | X - X_M |² dθ = 0
• ej. pasabajos θ_c
  • h[n] = sin ( θ_c n ) / π n
  • introducir función sinc
  • notar que es no causal (hay un resultado genérico)
  • h₁ = ∞ : no es absolutamente sumable (decae como 1/n)
  • dibujar H, H_M para varios M (pag 50)
  • introducir fenómeno de Gibbs

3: secuencias no sumables (de potencia finita)

• ej: 1 ↔ ∑_r 2π δ( θ + 2π r )
• ej. e^{jn θ₀} ↔ ∑_r 2π δ( θ - θ₀ + 2π r )

Propiedades

• simetría: idem que serie de fourier. Lo único interesante es H real
• linealidad
• corrimiento temporal: x[n-n_d] ↔ e^-jθ ^n_d X()
• corrimiento en frecuencia: e^jnθ₀ x[n] ↔ X( e^j(θ-θ₀) )
• inversa temporal: x[-n] ↔ X( e^-jθ )
• diferenciación en frecuencia: n x[n] ↔ j dX/dθ

• Parseval: E = ∑ |x|² = 1/2π ∫_2π |X|² dθ

  • (|X|^2) se llama densidad espectral de energía
  • Marc-Antoine Parseval des Chenes 1755 - 1836

• Convolución: Y = H.X

• Modulación (producto por ventana): y=xw ↔ Y = 1/2π ∫_2π X(e^jφ ) W(e^j(θ-φ) ) dφ

Ejemplos

• δ[n] ↔ 1
• aⁿ u[n-5]
• y[n] - 1/2 y[n-1] = x[n] - 1/4 x[n-1]
  • pasar a h, δ
  • tomar transformada
  • buscar inversa