Comentarios sobre teorema del muestreo
Comentarios sobre teorema del muestreo
Enunciado
Sea una señal x(t) es de banda limitada fN (es decir, X(f) = 0 para toda |f| ≥ fN).
Entonces x(t) está completamente determinada por sus muestras x[n] tomadas cada Ts = 1 / fs: x[n] = x(n Ts), siempre que fs > 2 fN
Notas sobre la demostración
La demostración se basa en la unicidad de la transformada de Fourier: para la clase de señales con que trabajamos, señal y transformada están asociadas biunívocamente.
La demostración original de Shannon es muy sencilla, y ni siquiera necesita introducir el concepto de solapamiento (ver sección 2 del PDF).
x es la antitransformada de X(f), que a su vez se expresa como una integral definida (no tiene sentido integrar más allá de fN). Esta integral, mediante un cambio de variable, es la integral de análisis de una serie de fourier de x[n]. Entonces, x[n] determina X(f) en la banda en que ésta tiene componentes, y de ahí se vuelve a x(t).
La demostración dada en clase se basa directamente en la de Oppenheim. Ahí aparece una señal intermedia en tiempo continuo formada por impulsos ponderados. Esta señal intermedia introduce los conceptos de solapamiento y reconstrucción mediante filtrado pasabajos. Luego se calcula la transformada de las muestras, y se la relaciona con la transformada de la señal auxiliar y la de la señal original.
En este caso, la demostración sale de notar que las muestras determinan su transformada, que es igual a la transformada de la señal auxiliar (salvo un cambio de variable). En las hipótesis del teorema, la transformada de x(t) se obtiene de esta última tomando el primer período (filtrado pasabajos), y la transformada de x(t) determina a x(t).
¿Qué se pide?
Cualquier demostración del teorema es válida en el examen.
Incluir únicamente cuentas no es una demostración.
Es desable en la demostración presentar los conceptos de solapamiento y, cuando no hay solapamiento, reconstrucción mediante filtrado pasabajos.
Tiene que quedar explicada la manera en que las muestras determinan unívocamente a la señal completa.
Es importante que todas las señales y espectros se dibujen con los ejes correctos, y con las periodizaciones que correspondan. Es común en los ejercicios cometer errores por haber dibujado un único período de un espectro periódico. Sugerir la periodicidad en un bosquejo (dibujar hasta algo más de π) ayuda a no equivocarse.