hola, alguien pudo resolver el ejercicio 8 a de la parte de sucesiones?
pide determinar si converge y en caso afirmativo calcular el limite,
la sucesión es an=α(n)/n tal que α(n) es la cantidad de numeros primos que dividen a n
gracias
En respuesta a Ilana Stolovas Rostkier
Re: práctico 2 sucesiones ejercicio 8 a
Descomponiendo $$n$$ en producto de factores primos:
$$n=p_1^{q_1}\cdot p_2^{q_2}\cdot ...\cdot p_{\alpha (n)}^{q_{\alpha (n)}}=\prod_{i=1}^{\alpha (n)} p_i^{q_i}$$
Con $$p_i$$ número primo (entonces $$p_i\geq 2$$), y $$q_i\in \mathbb{N}, q_i\geq 1 \hspace{0.25cm}\forall i\in \lbrace 1, 2, ..., \alpha (n)\rbrace$$.
Entonces
$$n=\prod_{i=1}^{\alpha (n)} p_i^{q_i}\geq \prod_{i=1}^{\alpha (n)} 2^1=2^{\alpha (n)}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\Rightarrow n \geq 2^{\alpha (n)}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\alpha (n) \leq \log_{2}{(n)}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$1\leq \alpha (n)\leq \log_{2}{(n)}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\frac{1}{n}\leq \frac{\alpha (n)}{n}\leq \frac{\log_{2}{(n)}}{n}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\frac{1}{n}\leq a_n\leq \frac{\log_{2}{(n)}}{n}\hspace{0.25cm}\forall n\in \mathbb{N}$$
$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\leq \lim_{n\to \infty}a_n\leq \lim_{n\to \infty}\frac{\log_{2}{(n)}}{n}$$
$$0\leq \lim_{n\to \infty}a_n\leq 0$$
$$\Rightarrow \lim_{n\to \infty} a_n =0$$
En respuesta a Nicolas Santiago Gammarano Lame
Re: práctico 2 sucesiones ejercicio 8 a
Muchas gracias!