Práctico 2, ejercicio 3 parte d

Práctico 2, ejercicio 3 parte d

de Kevin Esdras Jaureguy Pernas -
Número de respuestas: 2

Me pide demostrar que si la sucesión dn =anbn  y el límite de an es "a" y el límite de bn es "b"
Entonces el límite de dn=ab.

Hasta ahora lo que hice fue:

|a-an|<ε     y    |b-bn|<ε 

por axioma del orden sé que si   x<y  y  z>0 entonces xz<yz, entonces hice:


|a-an|. |b-bn| < ε . |b-bn| 

y a su vez: 

|a-an|. |b-bn| < ε . |b-bn| < ε 

entonces llego hasta acá:

|a-an|. |b-bn| < ε

Y desde ahí no sé cómo operar para que me quede  algo parecido a:

|ab-anbn|< ε   que es lo que me falta para demostrar que ab cumple la definición de límite de anbn

Cualquier ayuda se agradece






En respuesta a Kevin Esdras Jaureguy Pernas

Re: Práctico 2, ejercicio 3 parte d

de Nicolas Santiago Gammarano Lame -

$$\forall \varepsilon>0, \exists n_a :\hspace{0.25cm} |a_n-a|<\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq n_a$$

$$\forall \varepsilon>0, \exists n_b:\hspace{0.25cm} |b_n-b|<\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq n_b$$


$$|a_nb_n-ab|=|a_nb_n-a_nb+a_nb-ab|\hspace{0.25cm}\forall n$$

$$|a_nb_n-ab|\leq |a_nb_n-a_nb|+|a_nb-ab|\hspace{0.25cm}\forall n$$

$$|a_nb_n-ab|\leq |a_n|\cdot |b_n-b|+|b|\cdot |a_n-a|\hspace{0.25cm}\forall n$$

$$|a_nb_n-ab|< |a_n|\cdot \varepsilon + |b|\cdot \varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq \max{\lbrace n_a,n_b\rbrace}$$

$$|a_nb_n-ab|< (|a_n|+|b|)\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq \max{\lbrace n_a,n_b\rbrace}$$


Como $$|a_n-a|<\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq n_a$$, entonces $$|a_n|<|a|+\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq n_a$$.


$$\Rightarrow |a_nb_n-ab|<(|a|+|b|+\varepsilon)\varepsilon \hspace{0.25cm}\forall n\geq \max{\lbrace n_a,n_b\rbrace}$$