Foro de estudiantes

Para empezar tenes que hacer el paso base con n=0 ya que 0 es el primer natural. 

Entonces: 

Paso Base: si n=0 → 0²  ≤ 2⁰  porque 2⁰ = 1

Paso inductivo: 

Mi hipótesis es que si n² ≤ 2ⁿ entonces también se debería cumpir para (n+1)² ≤ 2⁽ⁿ⁺¹⁾, lo que es mi tesis.

Entonces: 2ⁿ⁺¹=2ⁿ+2 ≥ 2n² por hipótesis de inducción

Aplicas que 2ⁿ⁺¹=2·2ⁿ y llegás a que 2·2ⁿ≥2n²

Ahí tenés una complicación, entonces tenes que trabajar aparte para averiguar cuando se cumple esto.

2n²≥(n+1)² ↔ 2n²≥n²+2n+1↔  n²≥2n+1 ↔ n²-2n-1≥ 0

Los n para los cuales se cumple 2n²≥(n+1)² son los mimsmos para los cuales n²-2n-1≥0 

Para saber cuales son los n que sirven se estudia el signo de n²-2n-1≥0

El signo queda positivo hasta 1-√2 negativo desde ese mismo valor hasta 1+√2 y luego nuevamente positivo

Como estamos trabajando con el conjunto de los NATURALES solo nos sirve la parte positiva del signo desde 1+√2 que es aproximadamente 2,41. Como ese no es un numero natural, los naturales que van a servir son aquellos mayores que 3, entonces:

2n²≥(n+1)² si n≥3

Ahí se retoma la prueba 2ⁿ⁺¹=2ⁿ·2≥(n+1)² cuando n≥3

Entonces 2ⁿ⁺¹≥(n+1)² con n≥3 → 2^μ≥μ² con μ≥4

Con el paso base descubrimos que n=0 cumple la igualdad y con el paso inductivo descubrimos que los naturales mayores o iguales a 4 también la cumplen, entonces estudiamos los casos que faltan con 1, 2 y 3. Cuando hagas eso vas a ver que el único número que no cumple la igualdad es el 3 (simplemente sustituyendo en la ecuación original) entonces como respuesta final decimos que el conjunto de los valores de n que cumple n²≤2ⁿ decimos que n pertenece al conjunto de los naturales excepto el 3.