Ejercicio 10.
Sea g : [0, 2] → R una funci´on con derivada continua, tal que g(0) = 1, g(2) = 7 y g´(1) = 1. Determine cual de
las siguientes afirmaciones es necesariamente cierta:
(A) g alcanza su m´ınimo en x = 1.
(B) g´(1/2) = 1/2
(C) Existe x ∈ (0, 2) tal que g´(x) = 2
(D) g alcanza su m´aximo en x = 2.
(E) Existe x ∈ [0, 2] tal que g(x) = 0.
LA OPCIÓN CORRECTA ES LA (C) , ALGUIEN ME PUEDE DECIR POR QUÉ ?
Yo por el Teorema de Lagrange llego a que (C) Existe x ∈ (0, 2) tal que g´(x) = 3 no 2 como dice en el parcial.
Sigo sin entenderlo, pero , ¿ para qué sirve el dato de que g´(1)=1 ? , ¿sólo para saber que la función es creciente en 1?
Por el Teorema de Lagrange Existe c ∈ (0, 2) tal que g´(c) = 3. Y ademas la letra te da g´(1)=1, y por ser g´(x) continua sabemos que existe k ∈ (1, c) tal que g´(k) = b para todo b ∈ (g´(1), g´(c)) = (1, 3), en especial existe un k entre 1 y c tal que g´(k)= 2.
Ah bien... Muchas gracias !!!
Por Lagrange sabemos que existe un c en (0,2) tal que g'(c) = 3.
g'(1) = 1.
g'(c) = 3.
Por Darboux, sabemos que existe k en (g'(1),g'(c)) tal que g'(1) < k < g'(c). Esto significa que existe algun x en (1,c) tal que g'(x) = k
Entonces tenemos que existe k en (1,3) tal que 1 < k < 3.
En particular podemos tomar k=2 y concluimos que que existe algun x en (1,c) tal que g'(x) = 2, y de hecho (1,c) esta incluido en (0,2).
Creo que esto sirve para probar que es la opcion c.
Recien veo que es muy parecida a la respuesta anterior xd
Muchas gracias !!!!