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Hola Gustavo

Lo que vos decis de calcular la integral con Cauchy está correcto. En ese momento no habíamos dado Cauchy todavía y el razonamiento de como calculamos la integral nos sirve para relacionar geométricamente esa integral con el índice de una curva respecto a un punto.

La función $\frac{1}{z+3i}$ tiene primitiva en todo el plano menos una semirecta con origen en el -3i. En particular si definimos el logaritmo con argumento entre $[0,2\pi)$ es la semirecta horizontal a la derecha de -3i (donde z-(-3i) tiene ángulo cero). La curva con la que estamos trabajando esta incluida donde $\frac{1}{z+3i}$ tiene primitiva. Entonces podemos aplicar la regla de Barrow y por ser una curva cerrada la integral da cero.

Si quisieras separarlo en dos curvas exactamente como en la otra integral, una de las curvas con punto inicial y final $z_1$ y $z_2$ respectivamente y la otra al reves. Como en ambas curvas está definida la primitiva tendrías que:

$\int_{\gamma_}=\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma2}=L(z_2+3i)-L(z_1+3i)+L(z_1+3i)-L(z_2+3i)=0$

Si de una de las curvas hicieras tender su longitud a cero, esa curva tendería a un punto que llamemos$z_0$, esa integral te tendería a cero. Tendríamos entonces que:

$\int_{\gamma_}=\lim_{z_1\rigtharrow z_0 \\ z_2\rigtharrow z_0} L(z_2+3i)-L(z_1+3i).$

Como la función logaritmo es continua en $z_0$ ($z_0$ es un punto de la curva que no corta la semirecta donde el logaritmo no es continua) ese límite te da cero. 

En la otra integral, como el logaritmo no era continuo en el punto que ahora llamamos $z_0$ ese límite no nos daba cero. 

Se entendió?

Saludos!