Hola, no sé cómo hacer los ejercicios 15 y 16 del práctico 8, que son de contar relaciones de equivalencia y orden.
El 15 pide contar cuántas de equivalencia y orden se pueden establecer a partir de {1,2,3,4} que contengan la relación {(1,2);(3,4)}. Para contar las de equivalencia lo único que se me ocurrió fue ir construyendo la matriz de las posibles relaciones de la siguiente manera:
Como es reflexiva, en la diagonal todas las celdas tienen un 1. Como tienen que estar las parejas (1,2) y (3,4), las respectivas celdas también llevan un 1, y por la simetría también debo considerar las (2,1) y (4,3) entonces queda algo así:
1 1 ? ?
1 1 ? ?
? ? 1 1
? ? 1 1
Como es simétrica lo que ponga en los ? se van a ver replicados del otro lado de la diagonal, entonces lo que termino eligiendo sería:
1 1 ? ? 1 1 x x
1 1 ? ? o 1 1 x x
x x 1 1 ? ? 1 1
x x 1 1 ? ? 1 1
Como ? puede ser 0 ó 1 y hay cuatro de ellos, entonces el total sería 2^4 de relaciones posibles.
Pero en la hoja de soluciones pusieron que es 2, así que obviamente este razonamiento está mal. Las relaciones de orden no se me ocurre nada para hallarlas. Así que agradecería si alguien pudiera explicarme cómo realmente se hace para contar las relaciones de equivalencia/orden con esas condiciones.
Para el ejercicio 16, que pregunta si hay más relaciones de equivalencia o de orden en {1,2,3,...,100}, vi en el libro un ejercicio que es de un conjunto de seis elementos y allí se calcula cuántas particiones pueden establecerse, sumando numeros de Stirling del segundo tipo. En tal caso le da 203 que determinan esa cantidad de relaciones de equivalencia. Pero en este ejercicio el conjunto tiene cien elementos, ¡es un número enorme la sumatoria hasta 100 de los numeros de Stirling! ¡Y como respuesta dijeron que hay más relaciones de orden! No creo que se pretenda que hallemos ambos numeros para compararlos, entonces, ¿en qué se fijan para deducir tal resultado, conociendo solamente el cardinal del conjunto?
Gracias.