sislin2: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

Por lo que entiendo el hecho de una función sea módulo integrable implica que sea localmente integrable. Ya que la primera es mayor igual que la segunda siempre. Por lo que si el modulo converge en un intervalo de 0 a + inf tiene que converger la función sin valor absoluto en un intervalo compacto.

Mi duda viene en el Teorema de estabilidad

"Un sistema linea, causal, invariante en le tiempo cuya respuesta impusliva es una función h(t) localmente integrable es BIBO estable si solo si h(t) es modulo integrable."

Porque se pide en la hipótesis que h(t) se localmente integrable?? si después le pido algo más fuerte? puede ser algo una función NO localmente integrable pero si modulo integrable??

Gracias saludos

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Alvaro Giusto - domingo, 13 de diciembre de 2015, 16:36

Hola Franco.

Tenes razon en esa implicancia. Escribi con cuidado las hipotesis y la tesis de cada sentido del teorema y te vas a dar cuenta del porqué de la hipotesis de localmente integrable.

Saludos

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Franco Arturo Toscano Cannella - domingo, 13 de diciembre de 2015, 18:35

Recíproco

"Un sistema linea, causal, invariante en le tiempo cuya respuesta impusliva es una función h(t) localmente integrable y además h(t) es modulo integrable entonces el sistema entonces es BIBO estable"

la convergencia en módulo implica que sea localmente integrable por lo tanto en el recíproco es una hipótesis inecesaria

Directo:
"Un sistema linea, causal, invariante en le tiempo cuya respuesta impusliva es una función h(t) localmente integrable es BIBO estable entonces h(t) es modulo integrable."

Si la función no es localmente integrable no es ni BIBO estable ni modulo integrable.
No es BIBO estable porque hay un compacto que hace que la integral de salida diverga inyectando una señal acotada, y no es modulo integrable porque se acota por un minorante que diverge.

Entonces si niego que sea localmente integrables de alguna manera estoy negando la hipotesis de que sea BIBO estable, por lo que la hipótesis de que sea BIBO estable implica por deifnición que la funcion sea localmente integrable

Mirando la demostración del directo que se expone en las notas de Monzón que se basa por el absurdo, el hecho de que sea L.I o no abriría en dos casos dicha demostración. El caso en el que es LI que es el expuesto y el caso en el que no es LI en el que la demostación sería inmediata ya que solo basta poner una función acotada que tenga dominio en la parte donde h(t) no es L.I.

Concretamente en las notas de monzón dice:
El sistema es BIBO estable entonces la integral imporpia diverge. (lo cual es absurdo)

1)si no es L.I diverge como ya mencionamos
2)Si es L.I hay que hacer el desarrollo expuesto por monzón y también diverge.

Por lo tanto lo unico que me aporta es evitar un renglon menos en la demostracion (la parte 1)?

Gracias por el tiempo! saludos

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Alvaro Giusto - lunes, 14 de diciembre de 2015, 20:06

>Si la función no es localmente integrable no es ni BIBO estable ni modulo integrable.

Ahi esta el error, Franco.

Si la respuesta a impulso es delta(t), y(t)=u(t) y el sistemas es bibo estable.

La hipotesis de localmente integrable excluye respuestas a impulso impulsivas.

Saludos

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Franco Arturo Toscano Cannella - martes, 15 de diciembre de 2015, 01:39

Alvaro gracias por el tiempo y la respuesta pero no me queda claro,

La definición de localmente integrable es: Sea A ⊆ R. Se dice que una función f : A -> R es localmente integrable en A si es integrable en cada intervalo cerrado y acotado contenido en A.

La integral de la delta no es 1 (siempre que el intervalo de los extremos incluya al cero), o de la contrario la integral valdrá 0 (si los extremos no incluyen al cero) por definición?

esto satisface la definición de localmente integrable, por lo que la delta no quedaría excluida. A parte no entiendo de que me sirve excluir a las deltas si me generan sistemas BIBO estables

Quizas la definicion de localmente integrable que manejo no es la apropiada, porque por lo que tengo entendido depende del tipo de integral si es de Reimann o Lebesgue.

De todas maneras tampoco me cierra lo siguiente :
Si la función no es localmente integrable entonces no es BIBO estable. Lo argumento con lo siguiente:

si yo tomo una función h(t) que no es localmente integrable en [a,b] e inyecto una funcion que valga 1 en [a,b] y cero en lo demás tengo una entrada acotada y una salida que diverge (no es BIBO) ya que obtengo la integral no localmente integrable que usé de hipótesis,

Saludos

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Alvaro Giusto - martes, 15 de diciembre de 2015, 09:54

Hola, Franco

delta no es una funcion, es una distribucion y el teorema que estamos tratando las exclute justamente con la hipotesis de que h(t) sea una funcion localmente integrable.

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Franco Arturo Toscano Cannella - martes, 15 de diciembre de 2015, 15:52

Si es por el problema de que la delta es una distribución y no una función ya basta con decir que h(t) es una función. (ya que la delta no tiene una función asociada, queda excluida), porque al final de cuentas el argumento para que la delta no sea LI es que no tiene función asociada.

De hecho en las notas de Pablo Monzón se separa entre la desmotración para funciones y la demostración para distribuciones. Por lo que la condición de localmente integrable que exculye las respuestas impulsivas, ya viene dada antes cuando pido que h(t) sea una función (y no una distribución).

Saludos gracias por el tiempo

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Juan Gibert Mangarelli - martes, 15 de diciembre de 2015, 18:51

Franco una pregunta, vos decís que la condición de que sea localmente integrable ya la tenés por el hecho de que h(t) sea una función por lo que bastaría con decir eso. Pero hay funciones que no son localmente integrables, por eso existe un grupo de funciones localmente integrables.

En ese caso la condición de que sea localmente integrable sería más fuerte que que sea una función.

No se, vi la discusión y por ahí este aporte sirve o no.

Re: Teorema de estabilidad duda de hipotesis

de Franco Arturo Toscano Cannella - miércoles, 16 de diciembre de 2015, 14:11

Juan Gibert
Yo no digo que "la condición de que sea localmente integrable ya la tenés por el hecho de que h(t) sea una función"

Yo digo que en el directo del teorema tenes la hipótesis de que es BIBO estable, y lo que yo argumento, es que el hecho de que sea una función (asociada a un sistema) BIBO estable implica que sea localmente integrable (es decir es lo ultimo es una hipótesis que no aporta nada). Alvaro me argumentó que la delta es BIBO estable pero que no es localmente integrable, porque no tiene una función asociada, pero justamente no tiene una función asociada porque no es una función, por lo tanto no me cierra que el hecho de que la condición localmente integrable exculya las funciones impulsivas, ya que con solo decir que es una función ya excluis las deltas haciendo innecesaria la hipotesis de localmente integrable en ese sentido.

Por lo que entiendoel hecho de que sea localmente integrable excluye funciones con discontinuidades con asintotas verticales (polos positivos, si consideramos que es causal), las cuales evidentemente no son BIBO estables.